Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58766 / 45586
↖ ↑ ↗
← N 47.956824°
W 18.594360°		 ← 204.54 m → N 47.956824°
W 18.591614°		 →
↑
204.51 m
↓
↑
204.51 m
↓
N 47.954984°
W 18.594360°		 ← 204.55 m →
41 831 m²		 N 47.954984°
W 18.591614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448352813720703 y=0.347797393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448352813720703 × 217)
    floor (0.448352813720703 × 131072)
    floor (58766.5)     		tx = 58766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347797393798828 × 217)
    floor (0.347797393798828 × 131072)
    floor (45586.5)     		ty = 45586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58766 / 45586 ti = "17/58766/45586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58766/45586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58766 ÷ 217
    58766 ÷ 131072     		x = 0.448348999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45586 ÷ 217
    45586 ÷ 131072     		y = 0.347793579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448348999023438 × 2 - 1) × π
    -0.103302001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32453281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347793579101562 × 2 - 1) × π
    0.304412841796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.95634114742012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32453281} λ = -0.32453281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95634114742012))-π/2
    2×atan(2.60215812139642)-π/2
    2×1.20390040044703-π/2
    2.40780080089405-1.57079632675     		φ = 0.83700447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32453281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.594360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83700447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.956824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58766 KachelY 45586 -0.32453281 0.83700447 -18.594360 47.956824
    Oben rechts KachelX + 1 58767 KachelY 45586 -0.32448487 0.83700447 -18.591614 47.956824
    Unten links KachelX 58766 KachelY + 1 45587 -0.32453281 0.83697237 -18.594360 47.954984
    Unten rechts KachelX + 1 58767 KachelY + 1 45587 -0.32448487 0.83697237 -18.591614 47.954984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83700447-0.83697237) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dl = 204.509099999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83700447-0.83697237) × R
    3.20999999999794e-05 × 6371000     		dr = 204.509099999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32453281--0.32448487) × cos(0.83700447) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669690428674069 × 6371000     		do = 204.540694748798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32453281--0.32448487) × cos(0.83697237) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.669714267085143 × 6371000     		du = 204.54797561314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83700447)-sin(0.83697237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669690428674069-0.669714267085143)×R²
    abs(-0.32448487--0.32453281)×2.38384110737844e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38384110737844e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38384110737844e-05×40589641000000     		ar = 41831.1779014374m²