Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58764 / 85905
↖ ↑ ↗
← S 48.721773°
W 18.599853°		 ← 201.45 m → S 48.721773°
W 18.597107°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 48.723585°
W 18.599853°		 ← 201.45 m →
40 582 m²		 S 48.723585°
W 18.597107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448337554931641 y=0.655406951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448337554931641 × 217)
    floor (0.448337554931641 × 131072)
    floor (58764.5)     		tx = 58764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655406951904297 × 217)
    floor (0.655406951904297 × 131072)
    floor (85905.5)     		ty = 85905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58764 / 85905 ti = "17/58764/85905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58764/85905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58764 ÷ 217
    58764 ÷ 131072     		x = 0.448333740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85905 ÷ 217
    85905 ÷ 131072     		y = 0.655403137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.10333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32462868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655403137207031 × 2 - 1) × π
    -0.310806274414062 × 3.1415926535     		Φ = -0.976426708360924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32462868} λ = -0.32462868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976426708360924))-π/2
    2×atan(0.376654593783056)-π/2
    2×0.36022048335933-π/2
    0.72044096671866-1.57079632675     		φ = -0.85035536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32462868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.599853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85035536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.721773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58764 KachelY 85905 -0.32462868 -0.85035536 -18.599853 -48.721773
    Oben rechts KachelX + 1 58765 KachelY 85905 -0.32458075 -0.85035536 -18.597107 -48.721773
    Unten links KachelX 58764 KachelY + 1 85906 -0.32462868 -0.85038698 -18.599853 -48.723585
    Unten rechts KachelX + 1 58765 KachelY + 1 85906 -0.32458075 -0.85038698 -18.597107 -48.723585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85035536--0.85038698) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85035536--0.85038698) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32462868--0.32458075) × cos(-0.85035536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659716129214254 × 6371000     		do = 201.45225644073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32462868--0.32458075) × cos(-0.85038698) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659692365983658 × 6371000     		du = 201.445000052396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85035536)-sin(-0.85038698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659716129214254-0.659692365983658)×R²
    abs(-0.32458075--0.32462868)×2.37632305962743e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37632305962743e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37632305962743e-05×40589641000000     		ar = 40582.0316412088m²