Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58764 / 45563
↖ ↑ ↗
← N 47.999112°
W 18.599853°		 ← 204.33 m → N 47.999112°
W 18.597107°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
N 47.997274°
W 18.599853°		 ← 204.34 m →
41 762 m²		 N 47.997274°
W 18.597107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448337554931641 y=0.347621917724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448337554931641 × 217)
    floor (0.448337554931641 × 131072)
    floor (58764.5)     		tx = 58764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347621917724609 × 217)
    floor (0.347621917724609 × 131072)
    floor (45563.5)     		ty = 45563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58764 / 45563 ti = "17/58764/45563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58764/45563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58764 ÷ 217
    58764 ÷ 131072     		x = 0.448333740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45563 ÷ 217
    45563 ÷ 131072     		y = 0.347618103027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.10333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32462868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347618103027344 × 2 - 1) × π
    0.304763793945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.957443696111382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32462868} λ = -0.32462868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957443696111382))-π/2
    2×atan(2.60502870961847)-π/2
    2×1.20426943246286-π/2
    2.40853886492572-1.57079632675     		φ = 0.83774254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32462868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.599853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83774254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.999112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58764 KachelY 45563 -0.32462868 0.83774254 -18.599853 47.999112
    Oben rechts KachelX + 1 58765 KachelY 45563 -0.32458075 0.83774254 -18.597107 47.999112
    Unten links KachelX 58764 KachelY + 1 45564 -0.32462868 0.83771046 -18.599853 47.997274
    Unten rechts KachelX + 1 58765 KachelY + 1 45564 -0.32458075 0.83771046 -18.597107 47.997274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83774254-0.83771046) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83774254-0.83771046) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32462868--0.32458075) × cos(0.83774254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66914212573466 × 6371000     		do = 204.330597872976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32462868--0.32458075) × cos(0.83771046) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.669165965143599 × 6371000     		du = 204.337877523284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83774254)-sin(0.83771046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66914212573466-0.669165965143599)×R²
    abs(-0.32458075--0.32462868)×2.38394089394633e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38394089394633e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38394089394633e-05×40589641000000     		ar = 41762.1747857382m²