Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58764 / 45562
↖ ↑ ↗
← N 48.000949°
W 18.599853°		 ← 204.32 m → N 48.000949°
W 18.597107°		 →
↑
204.32 m
↓
↑
204.32 m
↓
N 47.999112°
W 18.599853°		 ← 204.33 m →
41 748 m²		 N 47.999112°
W 18.597107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448337554931641 y=0.347614288330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448337554931641 × 217)
    floor (0.448337554931641 × 131072)
    floor (58764.5)     		tx = 58764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347614288330078 × 217)
    floor (0.347614288330078 × 131072)
    floor (45562.5)     		ty = 45562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58764 / 45562 ti = "17/58764/45562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58764/45562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58764 ÷ 217
    58764 ÷ 131072     		x = 0.448333740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45562 ÷ 217
    45562 ÷ 131072     		y = 0.347610473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448333740234375 × 2 - 1) × π
    -0.10333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32462868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347610473632812 × 2 - 1) × π
    0.304779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.957491633011002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32462868} λ = -0.32462868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957491633011002))-π/2
    2×atan(2.60515358961138)-π/2
    2×1.20428547047668-π/2
    2.40857094095336-1.57079632675     		φ = 0.83777461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32462868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.599853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83777461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.000949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58764 KachelY 45562 -0.32462868 0.83777461 -18.599853 48.000949
    Oben rechts KachelX + 1 58765 KachelY 45562 -0.32458075 0.83777461 -18.597107 48.000949
    Unten links KachelX 58764 KachelY + 1 45563 -0.32462868 0.83774254 -18.599853 47.999112
    Unten rechts KachelX + 1 58765 KachelY + 1 45563 -0.32458075 0.83774254 -18.597107 47.999112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83777461-0.83774254) × R
    3.20699999999396e-05 × 6371000     		dl = 204.317969999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83777461-0.83774254) × R
    3.20699999999396e-05 × 6371000     		dr = 204.317969999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32462868--0.32458075) × cos(0.83777461) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.669118293068648 × 6371000     		do = 204.323320281702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32462868--0.32458075) × cos(0.83774254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66914212573466 × 6371000     		du = 204.330597872976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83777461)-sin(0.83774254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669118293068648-0.66914212573466)×R²
    abs(-0.32458075--0.32462868)×2.38326660120247e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38326660120247e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38326660120247e-05×40589641000000     		ar = 41747.6694986368m²