Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58763 / 45540
↖ ↑ ↗
← N 48.041365°
W 18.602600°		 ← 204.21 m → N 48.041365°
W 18.599853°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
N 48.039529°
W 18.602600°		 ← 204.21 m →
41 698 m²		 N 48.039529°
W 18.599853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448329925537109 y=0.347446441650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448329925537109 × 217)
    floor (0.448329925537109 × 131072)
    floor (58763.5)     		tx = 58763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347446441650391 × 217)
    floor (0.347446441650391 × 131072)
    floor (45540.5)     		ty = 45540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58763 / 45540 ti = "17/58763/45540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58763/45540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58763 ÷ 217
    58763 ÷ 131072     		x = 0.448326110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45540 ÷ 217
    45540 ÷ 131072     		y = 0.347442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448326110839844 × 2 - 1) × π
    -0.103347778320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32467662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347442626953125 × 2 - 1) × π
    0.30511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.958546244802643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32467662} λ = -0.32467662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958546244802643))-π/2
    2×atan(2.60790246454921)-π/2
    2×1.20463816223917-π/2
    2.40927632447835-1.57079632675     		φ = 0.83848000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32467662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.602600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83848000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.041365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58763 KachelY 45540 -0.32467662 0.83848000 -18.602600 48.041365
    Oben rechts KachelX + 1 58764 KachelY 45540 -0.32462868 0.83848000 -18.599853 48.041365
    Unten links KachelX 58763 KachelY + 1 45541 -0.32467662 0.83844795 -18.602600 48.039529
    Unten rechts KachelX + 1 58764 KachelY + 1 45541 -0.32462868 0.83844795 -18.599853 48.039529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83848000-0.83844795) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dl = 204.190549999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83848000-0.83844795) × R
    3.20499999999502e-05 × 6371000     		dr = 204.190549999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32467662--0.32462868) × cos(0.83848000) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668593911894915 × 6371000     		do = 204.205790300102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32467662--0.32462868) × cos(0.83844795) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668617744819839 × 6371000     		du = 204.213069488833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83848000)-sin(0.83844795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668593911894915-0.668617744819839)×R²
    abs(-0.32462868--0.32467662)×2.38329249239166e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38329249239166e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38329249239166e-05×40589641000000     		ar = 41697.6358086607m²