Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58763 / 31305
↖ ↑ ↗
← N 68.064072°
W 18.602600°		 ← 114.10 m → N 68.064072°
W 18.599853°		 →
↑
114.10 m
↓
↑
114.10 m
↓
N 68.063046°
W 18.602600°		 ← 114.10 m →
13 019 m²		 N 68.063046°
W 18.599853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448329925537109 y=0.238842010498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448329925537109 × 217)
    floor (0.448329925537109 × 131072)
    floor (58763.5)     		tx = 58763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238842010498047 × 217)
    floor (0.238842010498047 × 131072)
    floor (31305.5)     		ty = 31305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58763 / 31305 ti = "17/58763/31305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58763/31305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58763 ÷ 217
    58763 ÷ 131072     		x = 0.448326110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31305 ÷ 217
    31305 ÷ 131072     		y = 0.238838195800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448326110839844 × 2 - 1) × π
    -0.103347778320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32467662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238838195800781 × 2 - 1) × π
    0.522323608398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.64092801089414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32467662} λ = -0.32467662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64092801089414))-π/2
    2×atan(5.15995578621689)-π/2
    2×1.37936924479216-π/2
    2.75873848958432-1.57079632675     		φ = 1.18794216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32467662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.602600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18794216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.064072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58763 KachelY 31305 -0.32467662 1.18794216 -18.602600 68.064072
    Oben rechts KachelX + 1 58764 KachelY 31305 -0.32462868 1.18794216 -18.599853 68.064072
    Unten links KachelX 58763 KachelY + 1 31306 -0.32467662 1.18792425 -18.602600 68.063046
    Unten rechts KachelX + 1 58764 KachelY + 1 31306 -0.32462868 1.18792425 -18.599853 68.063046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18794216-1.18792425) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dl = 114.104609999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18794216-1.18792425) × R
    1.79099999999544e-05 × 6371000     		dr = 114.104609999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32467662--0.32462868) × cos(1.18794216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.373569518772974 × 6371000     		do = 114.097746712737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32467662--0.32462868) × cos(1.18792425) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.373586132068202 × 6371000     		du = 114.102820840726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18794216)-sin(1.18792425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373569518772974-0.373586132068202)×R²
    abs(-0.32462868--0.32467662)×1.66132952277298e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66132952277298e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66132952277298e-05×40589641000000     		ar = 13019.3683814655m²