Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58762 / 85899
↖ ↑ ↗
← S 48.710900°
W 18.605347°		 ← 201.54 m → S 48.710900°
W 18.602600°		 →
↑
201.51 m
↓
↑
201.51 m
↓
S 48.712712°
W 18.605347°		 ← 201.53 m →
40 612 m²		 S 48.712712°
W 18.602600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448322296142578 y=0.655361175537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448322296142578 × 217)
    floor (0.448322296142578 × 131072)
    floor (58762.5)     		tx = 58762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655361175537109 × 217)
    floor (0.655361175537109 × 131072)
    floor (85899.5)     		ty = 85899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58762 / 85899 ti = "17/58762/85899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58762/85899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58762 ÷ 217
    58762 ÷ 131072     		x = 0.448318481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85899 ÷ 217
    85899 ÷ 131072     		y = 0.655357360839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448318481445312 × 2 - 1) × π
    -0.103363037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32472456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655357360839844 × 2 - 1) × π
    -0.310714721679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.976139086963203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32472456} λ = -0.32472456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976139086963203))-π/2
    2×atan(0.376762943284849)-π/2
    2×0.3603153678507-π/2
    0.720630735701399-1.57079632675     		φ = -0.85016559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32472456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.605347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85016559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.710900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58762 KachelY 85899 -0.32472456 -0.85016559 -18.605347 -48.710900
    Oben rechts KachelX + 1 58763 KachelY 85899 -0.32467662 -0.85016559 -18.602600 -48.710900
    Unten links KachelX 58762 KachelY + 1 85900 -0.32472456 -0.85019722 -18.605347 -48.712712
    Unten rechts KachelX + 1 58763 KachelY + 1 85900 -0.32467662 -0.85019722 -18.602600 -48.712712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85016559--0.85019722) × R
    3.16299999999492e-05 × 6371000     		dl = 201.514729999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85016559--0.85019722) × R
    3.16299999999492e-05 × 6371000     		dr = 201.514729999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32472456--0.32467662) × cos(-0.85016559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659858732314879 × 6371000     		do = 201.537841612602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32472456--0.32467662) × cos(-0.85019722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659834965529178 × 6371000     		du = 201.530582624492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85016559)-sin(-0.85019722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659858732314879-0.659834965529178)×R²
    abs(-0.32467662--0.32472456)×2.37667857002632e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37667857002632e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37667857002632e-05×40589641000000     		ar = 40612.1123442121m²