Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58761 / 86035
↖ ↑ ↗
← S 48.956777°
W 18.608093°		 ← 200.51 m → S 48.956777°
W 18.605347°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
S 48.958581°
W 18.608093°		 ← 200.50 m →
40 213 m²		 S 48.958581°
W 18.605347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448314666748047 y=0.656398773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448314666748047 × 217)
    floor (0.448314666748047 × 131072)
    floor (58761.5)     		tx = 58761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656398773193359 × 217)
    floor (0.656398773193359 × 131072)
    floor (86035.5)     		ty = 86035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58761 / 86035 ti = "17/58761/86035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58761/86035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58761 ÷ 217
    58761 ÷ 131072     		x = 0.448310852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86035 ÷ 217
    86035 ÷ 131072     		y = 0.656394958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448310852050781 × 2 - 1) × π
    -0.103378295898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32477249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656394958496094 × 2 - 1) × π
    -0.312789916992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.982658505311531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32477249} λ = -0.32477249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982658505311531))-π/2
    2×atan(0.374314657410933)-π/2
    2×0.358169686633148-π/2
    0.716339373266295-1.57079632675     		φ = -0.85445695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32477249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.608093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85445695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.956777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58761 KachelY 86035 -0.32477249 -0.85445695 -18.608093 -48.956777
    Oben rechts KachelX + 1 58762 KachelY 86035 -0.32472456 -0.85445695 -18.605347 -48.956777
    Unten links KachelX 58761 KachelY + 1 86036 -0.32477249 -0.85448843 -18.608093 -48.958581
    Unten rechts KachelX + 1 58762 KachelY + 1 86036 -0.32472456 -0.85448843 -18.605347 -48.958581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85445695--0.85448843) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dl = 200.559079999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85445695--0.85448843) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dr = 200.559079999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32477249--0.32472456) × cos(-0.85445695) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656628182694166 × 6371000     		do = 200.509314822824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32477249--0.32472456) × cos(-0.85448843) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656604439698071 × 6371000     		du = 200.502064613338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85445695)-sin(-0.85448843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656628182694166-0.656604439698071)×R²
    abs(-0.32472456--0.32477249)×2.37429960943114e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37429960943114e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37429960943114e-05×40589641000000     		ar = 40213.2366678634m²