Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58761 / 45560
↖ ↑ ↗
← N 48.004625°
W 18.608093°		 ← 204.31 m → N 48.004625°
W 18.605347°		 →
↑
204.32 m
↓
↑
204.32 m
↓
N 48.002787°
W 18.608093°		 ← 204.32 m →
41 745 m²		 N 48.002787°
W 18.605347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448314666748047 y=0.347599029541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448314666748047 × 217)
    floor (0.448314666748047 × 131072)
    floor (58761.5)     		tx = 58761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347599029541016 × 217)
    floor (0.347599029541016 × 131072)
    floor (45560.5)     		ty = 45560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58761 / 45560 ti = "17/58761/45560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58761/45560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58761 ÷ 217
    58761 ÷ 131072     		x = 0.448310852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45560 ÷ 217
    45560 ÷ 131072     		y = 0.34759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448310852050781 × 2 - 1) × π
    -0.103378295898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32477249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34759521484375 × 2 - 1) × π
    0.3048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.957587506810242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32477249} λ = -0.32477249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957587506810242))-π/2
    2×atan(2.60540336755701)-π/2
    2×1.20431754479031-π/2
    2.40863508958062-1.57079632675     		φ = 0.83783876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32477249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.608093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83783876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.004625°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58761 KachelY 45560 -0.32477249 0.83783876 -18.608093 48.004625
    Oben rechts KachelX + 1 58762 KachelY 45560 -0.32472456 0.83783876 -18.605347 48.004625
    Unten links KachelX 58761 KachelY + 1 45561 -0.32477249 0.83780669 -18.608093 48.002787
    Unten rechts KachelX + 1 58762 KachelY + 1 45561 -0.32472456 0.83780669 -18.605347 48.002787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83783876-0.83780669) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dl = 204.317970000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83783876-0.83780669) × R
    3.20700000000507e-05 × 6371000     		dr = 204.317970000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32477249--0.32472456) × cos(0.83783876) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.669070618240126 × 6371000     		do = 204.308762199285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32477249--0.32472456) × cos(0.83780669) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.669094452282684 × 6371000     		du = 204.316040210904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83783876)-sin(0.83780669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669070618240126-0.669094452282684)×R²
    abs(-0.32472456--0.32477249)×2.38340425582351e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38340425582351e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38340425582351e-05×40589641000000     		ar = 41744.6950635401m²