Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58760 / 35720
↖ ↑ ↗
← N 63.064914°
W 18.610840°		 ← 138.35 m → N 63.064914°
W 18.608093°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
N 63.063670°
W 18.610840°		 ← 138.36 m →
19 145 m²		 N 63.063670°
W 18.608093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448307037353516 y=0.272525787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448307037353516 × 217)
    floor (0.448307037353516 × 131072)
    floor (58760.5)     		tx = 58760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272525787353516 × 217)
    floor (0.272525787353516 × 131072)
    floor (35720.5)     		ty = 35720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58760 / 35720 ti = "17/58760/35720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58760/35720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58760 ÷ 217
    58760 ÷ 131072     		x = 0.44830322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35720 ÷ 217
    35720 ÷ 131072     		y = 0.27252197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44830322265625 × 2 - 1) × π
    -0.1033935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32482043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27252197265625 × 2 - 1) × π
    0.4549560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.42928659907159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32482043} λ = -0.32482043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42928659907159))-π/2
    2×atan(4.17571916714281)-π/2
    2×1.33574336104526-π/2
    2.67148672209052-1.57079632675     		φ = 1.10069040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32482043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.610840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10069040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.064914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58760 KachelY 35720 -0.32482043 1.10069040 -18.610840 63.064914
    Oben rechts KachelX + 1 58761 KachelY 35720 -0.32477249 1.10069040 -18.608093 63.064914
    Unten links KachelX 58760 KachelY + 1 35721 -0.32482043 1.10066868 -18.610840 63.063670
    Unten rechts KachelX + 1 58761 KachelY + 1 35721 -0.32477249 1.10066868 -18.608093 63.063670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10069040-1.10066868) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dl = 138.378119999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10069040-1.10066868) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dr = 138.378119999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32482043--0.32477249) × cos(1.10069040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.45298072380929 × 6371000     		do = 138.351972775097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32482043--0.32477249) × cos(1.10066868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453000087523581 × 6371000     		du = 138.357886951864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10069040)-sin(1.10066868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45298072380929-0.453000087523581)×R²
    abs(-0.32477249--0.32482043)×1.93637142915648e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93637142915648e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93637142915648e-05×40589641000000     		ar = 19145.2950879516m²