Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58759 / 85917
↖ ↑ ↗
← S 48.743512°
W 18.613586°		 ← 201.41 m → S 48.743512°
W 18.610840°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 48.745323°
W 18.613586°		 ← 201.40 m →
40 573 m²		 S 48.745323°
W 18.610840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85917 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448299407958984 y=0.655498504638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448299407958984 × 217)
    floor (0.448299407958984 × 131072)
    floor (58759.5)     		tx = 58759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655498504638672 × 217)
    floor (0.655498504638672 × 131072)
    floor (85917.5)     		ty = 85917
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58759 / 85917 ti = "17/58759/85917"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58759/85917.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58759 ÷ 217
    58759 ÷ 131072     		x = 0.448295593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85917 ÷ 217
    85917 ÷ 131072     		y = 0.655494689941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448295593261719 × 2 - 1) × π
    -0.103408813476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32486837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655494689941406 × 2 - 1) × π
    -0.310989379882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.977001951156364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32486837} λ = -0.32486837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977001951156364))-π/2
    2×atan(0.376437988247973)-π/2
    2×0.360030775897273-π/2
    0.720061551794546-1.57079632675     		φ = -0.85073477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32486837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.613586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85073477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.743512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58759 KachelY 85917 -0.32486837 -0.85073477 -18.613586 -48.743512
    Oben rechts KachelX + 1 58760 KachelY 85917 -0.32482043 -0.85073477 -18.610840 -48.743512
    Unten links KachelX 58759 KachelY + 1 85918 -0.32486837 -0.85076639 -18.613586 -48.745323
    Unten rechts KachelX + 1 58760 KachelY + 1 85918 -0.32482043 -0.85076639 -18.610840 -48.745323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85073477--0.85076639) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85073477--0.85076639) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32486837--0.32482043) × cos(-0.85073477) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659430949473232 × 6371000     		do = 201.407185721866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32486837--0.32482043) × cos(-0.85076639) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659407178329911 × 6371000     		du = 201.399925402826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85073477)-sin(-0.85076639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659430949473232-0.659407178329911)×R²
    abs(-0.32482043--0.32486837)×2.37711433206389e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37711433206389e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37711433206389e-05×40589641000000     		ar = 40572.9517029874m²