Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58759 / 31320
↖ ↑ ↗
← N 68.048677°
W 18.613586°		 ← 114.17 m → N 68.048677°
W 18.610840°		 →
↑
114.17 m
↓
↑
114.17 m
↓
N 68.047650°
W 18.613586°		 ← 114.18 m →
13 035 m²		 N 68.047650°
W 18.610840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448299407958984 y=0.238956451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448299407958984 × 217)
    floor (0.448299407958984 × 131072)
    floor (58759.5)     		tx = 58759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238956451416016 × 217)
    floor (0.238956451416016 × 131072)
    floor (31320.5)     		ty = 31320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58759 / 31320 ti = "17/58759/31320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58759/31320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58759 ÷ 217
    58759 ÷ 131072     		x = 0.448295593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31320 ÷ 217
    31320 ÷ 131072     		y = 0.23895263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448295593261719 × 2 - 1) × π
    -0.103408813476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32486837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23895263671875 × 2 - 1) × π
    0.5220947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64020895739984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32486837} λ = -0.32486837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64020895739984))-π/2
    2×atan(5.15624683560512)-π/2
    2×1.37923489175933-π/2
    2.75846978351866-1.57079632675     		φ = 1.18767346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32486837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.613586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18767346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.048677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58759 KachelY 31320 -0.32486837 1.18767346 -18.613586 68.048677
    Oben rechts KachelX + 1 58760 KachelY 31320 -0.32482043 1.18767346 -18.610840 68.048677
    Unten links KachelX 58759 KachelY + 1 31321 -0.32486837 1.18765554 -18.613586 68.047650
    Unten rechts KachelX + 1 58760 KachelY + 1 31321 -0.32482043 1.18765554 -18.610840 68.047650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18767346-1.18765554) × R
    1.79200000001156e-05 × 6371000     		dl = 114.168320000737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18767346-1.18765554) × R
    1.79200000001156e-05 × 6371000     		dr = 114.168320000737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32486837--0.32482043) × cos(1.18767346) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.373818751991431 × 6371000     		do = 114.173868952917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32486837--0.32482043) × cos(1.18765554) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.373835372763198 × 6371000     		du = 114.178945364433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18767346)-sin(1.18765554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373818751991431-0.373835372763198)×R²
    abs(-0.32482043--0.32486837)×1.66207717666733e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66207717666733e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66207717666733e-05×40589641000000     		ar = 13035.3285894531m²