Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58758 / 86035
↖ ↑ ↗
← S 48.956777°
W 18.616333°		 ← 200.55 m → S 48.956777°
W 18.613586°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
S 48.958581°
W 18.616333°		 ← 200.54 m →
40 222 m²		 S 48.958581°
W 18.613586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448291778564453 y=0.656398773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448291778564453 × 217)
    floor (0.448291778564453 × 131072)
    floor (58758.5)     		tx = 58758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656398773193359 × 217)
    floor (0.656398773193359 × 131072)
    floor (86035.5)     		ty = 86035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58758 / 86035 ti = "17/58758/86035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58758/86035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58758 ÷ 217
    58758 ÷ 131072     		x = 0.448287963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86035 ÷ 217
    86035 ÷ 131072     		y = 0.656394958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448287963867188 × 2 - 1) × π
    -0.103424072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32491631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656394958496094 × 2 - 1) × π
    -0.312789916992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.982658505311531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32491631} λ = -0.32491631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982658505311531))-π/2
    2×atan(0.374314657410933)-π/2
    2×0.358169686633148-π/2
    0.716339373266295-1.57079632675     		φ = -0.85445695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32491631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.616333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85445695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.956777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58758 KachelY 86035 -0.32491631 -0.85445695 -18.616333 -48.956777
    Oben rechts KachelX + 1 58759 KachelY 86035 -0.32486837 -0.85445695 -18.613586 -48.956777
    Unten links KachelX 58758 KachelY + 1 86036 -0.32491631 -0.85448843 -18.616333 -48.958581
    Unten rechts KachelX + 1 58759 KachelY + 1 86036 -0.32486837 -0.85448843 -18.613586 -48.958581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85445695--0.85448843) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dl = 200.559079999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85445695--0.85448843) × R
    3.14799999999726e-05 × 6371000     		dr = 200.559079999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32491631--0.32486837) × cos(-0.85445695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656628182694166 × 6371000     		do = 200.551148604089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32491631--0.32486837) × cos(-0.85448843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.656604439698071 × 6371000     		du = 200.543896881937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85445695)-sin(-0.85448843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656628182694166-0.656604439698071)×R²
    abs(-0.32486837--0.32491631)×2.37429960943114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37429960943114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37429960943114e-05×40589641000000     		ar = 40221.6266608581m²