Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58757 / 86029
↖ ↑ ↗
← S 48.945955°
W 18.619079°		 ← 200.55 m → S 48.945955°
W 18.616333°		 →
↑
200.62 m
↓
↑
200.62 m
↓
S 48.947759°
W 18.619079°		 ← 200.55 m →
40 235 m²		 S 48.947759°
W 18.616333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448284149169922 y=0.656352996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448284149169922 × 217)
    floor (0.448284149169922 × 131072)
    floor (58757.5)     		tx = 58757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656352996826172 × 217)
    floor (0.656352996826172 × 131072)
    floor (86029.5)     		ty = 86029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58757 / 86029 ti = "17/58757/86029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58757/86029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58757 ÷ 217
    58757 ÷ 131072     		x = 0.448280334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86029 ÷ 217
    86029 ÷ 131072     		y = 0.656349182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448280334472656 × 2 - 1) × π
    -0.103439331054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32496424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656349182128906 × 2 - 1) × π
    -0.312698364257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.982370883913811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32496424} λ = -0.32496424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982370883913811))-π/2
    2×atan(0.374422333800159)-π/2
    2×0.358264127033071-π/2
    0.716528254066143-1.57079632675     		φ = -0.85426807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32496424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.619079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85426807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.945955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58757 KachelY 86029 -0.32496424 -0.85426807 -18.619079 -48.945955
    Oben rechts KachelX + 1 58758 KachelY 86029 -0.32491631 -0.85426807 -18.616333 -48.945955
    Unten links KachelX 58757 KachelY + 1 86030 -0.32496424 -0.85429956 -18.619079 -48.947759
    Unten rechts KachelX + 1 58758 KachelY + 1 86030 -0.32491631 -0.85429956 -18.616333 -48.947759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85426807--0.85429956) × R
    3.14899999999119e-05 × 6371000     		dl = 200.622789999439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85426807--0.85429956) × R
    3.14899999999119e-05 × 6371000     		dr = 200.622789999439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32496424--0.32491631) × cos(-0.85426807) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656770627004951 × 6371000     		do = 200.552811906727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32496424--0.32491631) × cos(-0.85429956) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656746880372372 × 6371000     		du = 200.545560586798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85426807)-sin(-0.85429956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656770627004951-0.656746880372372)×R²
    abs(-0.32491631--0.32496424)×2.37466325787583e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37466325787583e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37466325787583e-05×40589641000000     		ar = 40234.7372803684m²