Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58757 / 31359
↖ ↑ ↗
← N 68.008599°
W 18.619079°		 ← 114.35 m → N 68.008599°
W 18.616333°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
N 68.007571°
W 18.619079°		 ← 114.35 m →
13 077 m²		 N 68.007571°
W 18.616333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58757 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448284149169922 y=0.239253997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448284149169922 × 217)
    floor (0.448284149169922 × 131072)
    floor (58757.5)     		tx = 58757
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239253997802734 × 217)
    floor (0.239253997802734 × 131072)
    floor (31359.5)     		ty = 31359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58757 / 31359 ti = "17/58757/31359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58757/31359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58757 ÷ 217
    58757 ÷ 131072     		x = 0.448280334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31359 ÷ 217
    31359 ÷ 131072     		y = 0.239250183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448280334472656 × 2 - 1) × π
    -0.103439331054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32496424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239250183105469 × 2 - 1) × π
    0.521499633789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.63833941831466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32496424} λ = -0.32496424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63833941831466))-π/2
    2×atan(5.14661603599637)-π/2
    2×1.37888515426624-π/2
    2.75777030853248-1.57079632675     		φ = 1.18697398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32496424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.619079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18697398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.008599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58757 KachelY 31359 -0.32496424 1.18697398 -18.619079 68.008599
    Oben rechts KachelX + 1 58758 KachelY 31359 -0.32491631 1.18697398 -18.616333 68.008599
    Unten links KachelX 58757 KachelY + 1 31360 -0.32496424 1.18695603 -18.619079 68.007571
    Unten rechts KachelX + 1 58758 KachelY + 1 31360 -0.32491631 1.18695603 -18.616333 68.007571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18697398-1.18695603) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dl = 114.35945000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18697398-1.18695603) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dr = 114.35945000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32496424--0.32491631) × cos(1.18697398) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374467429429791 × 6371000     		do = 114.348134419633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32496424--0.32491631) × cos(1.18695603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374484073328689 × 6371000     		du = 114.353216834387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18697398)-sin(1.18695603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374467429429791-0.374484073328689)×R²
    abs(-0.32491631--0.32496424)×1.66438988984385e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66438988984385e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66438988984385e-05×40589641000000     		ar = 13077.0803722841m²