Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58756 / 45591
↖ ↑ ↗
← N 47.947626°
W 18.621826°		 ← 204.58 m → N 47.947626°
W 18.619079°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
N 47.945787°
W 18.621826°		 ← 204.58 m →
41 852 m²		 N 47.945787°
W 18.619079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448276519775391 y=0.347835540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448276519775391 × 217)
    floor (0.448276519775391 × 131072)
    floor (58756.5)     		tx = 58756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347835540771484 × 217)
    floor (0.347835540771484 × 131072)
    floor (45591.5)     		ty = 45591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58756 / 45591 ti = "17/58756/45591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58756/45591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58756 ÷ 217
    58756 ÷ 131072     		x = 0.448272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45591 ÷ 217
    45591 ÷ 131072     		y = 0.347831726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.10345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32501218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347831726074219 × 2 - 1) × π
    0.304336547851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.95610146292202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32501218} λ = -0.32501218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95610146292202))-π/2
    2×atan(2.60153449917239)-π/2
    2×1.20382013609731-π/2
    2.40764027219461-1.57079632675     		φ = 0.83684395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32501218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.621826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83684395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.947626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58756 KachelY 45591 -0.32501218 0.83684395 -18.621826 47.947626
    Oben rechts KachelX + 1 58757 KachelY 45591 -0.32496424 0.83684395 -18.619079 47.947626
    Unten links KachelX 58756 KachelY + 1 45592 -0.32501218 0.83681184 -18.621826 47.945787
    Unten rechts KachelX + 1 58757 KachelY + 1 45592 -0.32496424 0.83681184 -18.619079 47.945787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83684395-0.83681184) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83684395-0.83681184) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(0.83684395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669809628679048 × 6371000     		do = 204.577101498289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(0.83681184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669833471064158 × 6371000     		du = 204.584383576405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83684395)-sin(0.83681184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669809628679048-0.669833471064158)×R²
    abs(-0.32496424--0.32501218)×2.38423851104397e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38423851104397e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38423851104397e-05×40589641000000     		ar = 41851.6573763931m²