Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58756 / 31348
↖ ↑ ↗
← N 68.019910°
W 18.621826°		 ← 114.32 m → N 68.019910°
W 18.619079°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
N 68.018882°
W 18.621826°		 ← 114.32 m →
13 066 m²		 N 68.018882°
W 18.619079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448276519775391 y=0.239170074462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448276519775391 × 217)
    floor (0.448276519775391 × 131072)
    floor (58756.5)     		tx = 58756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239170074462891 × 217)
    floor (0.239170074462891 × 131072)
    floor (31348.5)     		ty = 31348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58756 / 31348 ti = "17/58756/31348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58756/31348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58756 ÷ 217
    58756 ÷ 131072     		x = 0.448272705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31348 ÷ 217
    31348 ÷ 131072     		y = 0.239166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448272705078125 × 2 - 1) × π
    -0.10345458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32501218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239166259765625 × 2 - 1) × π
    0.52166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.63886672421048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32501218} λ = -0.32501218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63886672421048))-π/2
    2×atan(5.14933059261363)-π/2
    2×1.37898385957443-π/2
    2.75796771914886-1.57079632675     		φ = 1.18717139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32501218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.621826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18717139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.019910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58756 KachelY 31348 -0.32501218 1.18717139 -18.621826 68.019910
    Oben rechts KachelX + 1 58757 KachelY 31348 -0.32496424 1.18717139 -18.619079 68.019910
    Unten links KachelX 58756 KachelY + 1 31349 -0.32501218 1.18715345 -18.621826 68.018882
    Unten rechts KachelX + 1 58757 KachelY + 1 31349 -0.32496424 1.18715345 -18.619079 68.018882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18717139-1.18715345) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18717139-1.18715345) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(1.18717139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374284375672462 × 6371000     		do = 114.316082410125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32501218--0.32496424) × cos(1.18715345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374301011624922 × 6371000     		du = 114.321163458215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18717139)-sin(1.18715345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374284375672462-0.374301011624922)×R²
    abs(-0.32496424--0.32501218)×1.66359524597093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66359524597093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66359524597093e-05×40589641000000     		ar = 13066.1316044961m²