Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58755 / 85996
↖ ↑ ↗
← S 48.886392°
W 18.624573°		 ← 200.83 m → S 48.886392°
W 18.621826°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
S 48.888198°
W 18.624573°		 ← 200.83 m →
40 330 m²		 S 48.888198°
W 18.621826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448268890380859 y=0.656101226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448268890380859 × 217)
    floor (0.448268890380859 × 131072)
    floor (58755.5)     		tx = 58755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656101226806641 × 217)
    floor (0.656101226806641 × 131072)
    floor (85996.5)     		ty = 85996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58755 / 85996 ti = "17/58755/85996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58755/85996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58755 ÷ 217
    58755 ÷ 131072     		x = 0.448265075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85996 ÷ 217
    85996 ÷ 131072     		y = 0.656097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448265075683594 × 2 - 1) × π
    -0.103469848632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32506012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656097412109375 × 2 - 1) × π
    -0.31219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.980788966226349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32506012} λ = -0.32506012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980788966226349))-π/2
    2×atan(0.375015107848838)-π/2
    2×0.35878391544212-π/2
    0.717567830884241-1.57079632675     		φ = -0.85322850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32506012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.624573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85322850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.886392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58755 KachelY 85996 -0.32506012 -0.85322850 -18.624573 -48.886392
    Oben rechts KachelX + 1 58756 KachelY 85996 -0.32501218 -0.85322850 -18.621826 -48.886392
    Unten links KachelX 58755 KachelY + 1 85997 -0.32506012 -0.85326002 -18.624573 -48.888198
    Unten rechts KachelX + 1 58756 KachelY + 1 85997 -0.32501218 -0.85326002 -18.621826 -48.888198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85322850--0.85326002) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dl = 200.813920000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85322850--0.85326002) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dr = 200.813920000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32506012--0.32501218) × cos(-0.85322850) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657554201741365 × 6371000     		do = 200.833978657067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32506012--0.32501218) × cos(-0.85326002) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657530454018469 × 6371000     		du = 200.826725491228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85322850)-sin(-0.85326002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657554201741365-0.657530454018469)×R²
    abs(-0.32501218--0.32506012)×2.37477228963723e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37477228963723e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37477228963723e-05×40589641000000     		ar = 40329.5302584477m²