Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58755 / 29345
↖ ↑ ↗
← N 69.989595°
W 18.624573°		 ← 104.51 m → N 69.989595°
W 18.621826°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 69.988655°
W 18.624573°		 ← 104.52 m →
10 927 m²		 N 69.988655°
W 18.621826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448268890380859 y=0.223888397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448268890380859 × 217)
    floor (0.448268890380859 × 131072)
    floor (58755.5)     		tx = 58755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223888397216797 × 217)
    floor (0.223888397216797 × 131072)
    floor (29345.5)     		ty = 29345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58755 / 29345 ti = "17/58755/29345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58755/29345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58755 ÷ 217
    58755 ÷ 131072     		x = 0.448265075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29345 ÷ 217
    29345 ÷ 131072     		y = 0.223884582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448265075683594 × 2 - 1) × π
    -0.103469848632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32506012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223884582519531 × 2 - 1) × π
    0.552230834960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.73488433414945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32506012} λ = -0.32506012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73488433414945))-π/2
    2×atan(5.66827214036852)-π/2
    2×1.39617260192855-π/2
    2.7923452038571-1.57079632675     		φ = 1.22154888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32506012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.624573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22154888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.989595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58755 KachelY 29345 -0.32506012 1.22154888 -18.624573 69.989595
    Oben rechts KachelX + 1 58756 KachelY 29345 -0.32501218 1.22154888 -18.621826 69.989595
    Unten links KachelX 58755 KachelY + 1 29346 -0.32506012 1.22153247 -18.624573 69.988655
    Unten rechts KachelX + 1 58756 KachelY + 1 29346 -0.32501218 1.22153247 -18.621826 69.988655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22154888-1.22153247) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22154888-1.22153247) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32506012--0.32501218) × cos(1.22154888) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.3421907824786 × 6371000     		do = 104.513872959758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32506012--0.32501218) × cos(1.22153247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.342206201768959 × 6371000     		du = 104.518582407926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22154888)-sin(1.22153247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3421907824786-0.342206201768959)×R²
    abs(-0.32501218--0.32506012)×1.54192903592532e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.54192903592532e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.54192903592532e-05×40589641000000     		ar = 10926.9740688876m²