Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58753 / 85908
↖ ↑ ↗
← S 48.727209°
W 18.630066°		 ← 201.47 m → S 48.727209°
W 18.627319°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 48.729021°
W 18.630066°		 ← 201.47 m →
40 586 m²		 S 48.729021°
W 18.627319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448253631591797 y=0.655429840087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448253631591797 × 217)
    floor (0.448253631591797 × 131072)
    floor (58753.5)     		tx = 58753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655429840087891 × 217)
    floor (0.655429840087891 × 131072)
    floor (85908.5)     		ty = 85908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58753 / 85908 ti = "17/58753/85908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58753/85908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58753 ÷ 217
    58753 ÷ 131072     		x = 0.448249816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85908 ÷ 217
    85908 ÷ 131072     		y = 0.655426025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448249816894531 × 2 - 1) × π
    -0.103500366210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32515599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655426025390625 × 2 - 1) × π
    -0.31085205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.976570519059784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32515599} λ = -0.32515599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976570519059784))-π/2
    2×atan(0.376600430717403)-π/2
    2×0.360173048803921-π/2
    0.720346097607843-1.57079632675     		φ = -0.85045023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32515599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.630066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85045023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.727209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58753 KachelY 85908 -0.32515599 -0.85045023 -18.630066 -48.727209
    Oben rechts KachelX + 1 58754 KachelY 85908 -0.32510805 -0.85045023 -18.627319 -48.727209
    Unten links KachelX 58753 KachelY + 1 85909 -0.32515599 -0.85048185 -18.630066 -48.729021
    Unten rechts KachelX + 1 58754 KachelY + 1 85909 -0.32510805 -0.85048185 -18.627319 -48.729021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85045023--0.85048185) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85045023--0.85048185) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32515599--0.32510805) × cos(-0.85045023) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659644830027985 × 6371000     		do = 201.472510348573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32515599--0.32510805) × cos(-0.85048185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659621064818522 × 6371000     		du = 201.465251841886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85045023)-sin(-0.85048185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659644830027985-0.659621064818522)×R²
    abs(-0.32510805--0.32515599)×2.37652094630114e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37652094630114e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37652094630114e-05×40589641000000     		ar = 40586.111598405m²