Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58753 / 85886
↖ ↑ ↗
← S 48.687334°
W 18.630066°		 ← 201.63 m → S 48.687334°
W 18.627319°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
S 48.689147°
W 18.630066°		 ← 201.62 m →
40 657 m²		 S 48.689147°
W 18.627319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448253631591797 y=0.655261993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448253631591797 × 217)
    floor (0.448253631591797 × 131072)
    floor (58753.5)     		tx = 58753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655261993408203 × 217)
    floor (0.655261993408203 × 131072)
    floor (85886.5)     		ty = 85886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58753 / 85886 ti = "17/58753/85886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58753/85886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58753 ÷ 217
    58753 ÷ 131072     		x = 0.448249816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85886 ÷ 217
    85886 ÷ 131072     		y = 0.655258178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448249816894531 × 2 - 1) × π
    -0.103500366210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32515599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655258178710938 × 2 - 1) × π
    -0.310516357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.975515907268143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32515599} λ = -0.32515599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.975515907268143))-π/2
    2×atan(0.376997807474651)-π/2
    2×0.360521021271372-π/2
    0.721042042542744-1.57079632675     		φ = -0.84975428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32515599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.630066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84975428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.687334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58753 KachelY 85886 -0.32515599 -0.84975428 -18.630066 -48.687334
    Oben rechts KachelX + 1 58754 KachelY 85886 -0.32510805 -0.84975428 -18.627319 -48.687334
    Unten links KachelX 58753 KachelY + 1 85887 -0.32515599 -0.84978593 -18.630066 -48.689147
    Unten rechts KachelX + 1 58754 KachelY + 1 85887 -0.32510805 -0.84978593 -18.627319 -48.689147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84975428--0.84978593) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dl = 201.642150000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84975428--0.84978593) × R
    3.16500000000497e-05 × 6371000     		dr = 201.642150000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32515599--0.32510805) × cos(-0.84975428) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660167730579939 × 6371000     		do = 201.6322176366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32515599--0.32510805) × cos(-0.84978593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6601439573579 × 6371000     		du = 201.624956682666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84975428)-sin(-0.84978593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660167730579939-0.6601439573579)×R²
    abs(-0.32510805--0.32515599)×2.37732220393916e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37732220393916e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37732220393916e-05×40589641000000     		ar = 40656.8218198135m²