Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58753 / 31355
↖ ↑ ↗
← N 68.012713°
W 18.630066°		 ← 114.35 m → N 68.012713°
W 18.627319°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
N 68.011685°
W 18.630066°		 ← 114.36 m →
13 077 m²		 N 68.011685°
W 18.627319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448253631591797 y=0.239223480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448253631591797 × 217)
    floor (0.448253631591797 × 131072)
    floor (58753.5)     		tx = 58753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239223480224609 × 217)
    floor (0.239223480224609 × 131072)
    floor (31355.5)     		ty = 31355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58753 / 31355 ti = "17/58753/31355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58753/31355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58753 ÷ 217
    58753 ÷ 131072     		x = 0.448249816894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31355 ÷ 217
    31355 ÷ 131072     		y = 0.239219665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448249816894531 × 2 - 1) × π
    -0.103500366210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32515599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239219665527344 × 2 - 1) × π
    0.521560668945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.63853116591314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32515599} λ = -0.32515599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63853116591314))-π/2
    2×atan(5.1476029818808)-π/2
    2×1.37892105268981-π/2
    2.75784210537963-1.57079632675     		φ = 1.18704578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32515599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.630066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18704578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.012713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58753 KachelY 31355 -0.32515599 1.18704578 -18.630066 68.012713
    Oben rechts KachelX + 1 58754 KachelY 31355 -0.32510805 1.18704578 -18.627319 68.012713
    Unten links KachelX 58753 KachelY + 1 31356 -0.32515599 1.18702783 -18.630066 68.011685
    Unten rechts KachelX + 1 58754 KachelY + 1 31356 -0.32510805 1.18702783 -18.627319 68.011685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18704578-1.18702783) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dl = 114.35945000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18704578-1.18702783) × R
    1.79500000001553e-05 × 6371000     		dr = 114.35945000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32515599--0.32510805) × cos(1.18704578) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.374400852627708 × 6371000     		do = 114.351657470506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32515599--0.32510805) × cos(1.18702783) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.374417497009192 × 6371000     		du = 114.356741093038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18704578)-sin(1.18702783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374400852627708-0.374417497009192)×R²
    abs(-0.32510805--0.32515599)×1.66443814835771e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.66443814835771e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.66443814835771e-05×40589641000000     		ar = 13077.4833354744m²