Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58752 / 31354
↖ ↑ ↗
← N 68.013742°
W 18.632813°		 ← 114.35 m → N 68.013742°
W 18.630066°		 →
↑
114.36 m
↓
↑
114.36 m
↓
N 68.012713°
W 18.632813°		 ← 114.35 m →
13 077 m²		 N 68.012713°
W 18.630066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448246002197266 y=0.239215850830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448246002197266 × 217)
    floor (0.448246002197266 × 131072)
    floor (58752.5)     		tx = 58752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239215850830078 × 217)
    floor (0.239215850830078 × 131072)
    floor (31354.5)     		ty = 31354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58752 / 31354 ti = "17/58752/31354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58752/31354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58752 ÷ 217
    58752 ÷ 131072     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31354 ÷ 217
    31354 ÷ 131072     		y = 0.239212036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239212036132812 × 2 - 1) × π
    0.521575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.63857910281276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63857910281276))-π/2
    2×atan(5.14784974792278)-π/2
    2×1.37893002629845-π/2
    2.7578600525969-1.57079632675     		φ = 1.18706373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18706373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.013742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58752 KachelY 31354 -0.32520393 1.18706373 -18.632813 68.013742
    Oben rechts KachelX + 1 58753 KachelY 31354 -0.32515599 1.18706373 -18.630066 68.013742
    Unten links KachelX 58752 KachelY + 1 31355 -0.32520393 1.18704578 -18.632813 68.012713
    Unten rechts KachelX + 1 58753 KachelY + 1 31355 -0.32515599 1.18704578 -18.630066 68.012713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18706373-1.18704578) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dl = 114.359449999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18706373-1.18704578) × R
    1.79499999999333e-05 × 6371000     		dr = 114.359449999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32515599) × cos(1.18706373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374384208125592 × 6371000     		do = 114.346573810998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32515599) × cos(1.18704578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374400852627708 × 6371000     		du = 114.351657470374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18706373)-sin(1.18704578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374384208125592-0.374400852627708)×R²
    abs(-0.32515599--0.32520393)×1.66445021163031e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66445021163031e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66445021163031e-05×40589641000000     		ar = 13076.901972963m²