Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58751 / 85909
↖ ↑ ↗
← S 48.729021°
W 18.635559°		 ← 201.42 m → S 48.729021°
W 18.632813°		 →
↑
201.45 m
↓
↑
201.45 m
↓
S 48.730832°
W 18.635559°		 ← 201.42 m →
40 576 m²		 S 48.730832°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448238372802734 y=0.655437469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448238372802734 × 217)
    floor (0.448238372802734 × 131072)
    floor (58751.5)     		tx = 58751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655437469482422 × 217)
    floor (0.655437469482422 × 131072)
    floor (85909.5)     		ty = 85909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58751 / 85909 ti = "17/58751/85909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58751/85909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58751 ÷ 217
    58751 ÷ 131072     		x = 0.448234558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85909 ÷ 217
    85909 ÷ 131072     		y = 0.655433654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448234558105469 × 2 - 1) × π
    -0.103530883789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32525186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655433654785156 × 2 - 1) × π
    -0.310867309570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.976618455959404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32525186} λ = -0.32525186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976618455959404))-π/2
    2×atan(0.376582378093056)-π/2
    2×0.360157238424721-π/2
    0.720314476849441-1.57079632675     		φ = -0.85048185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32525186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.635559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85048185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.729021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58751 KachelY 85909 -0.32525186 -0.85048185 -18.635559 -48.729021
    Oben rechts KachelX + 1 58752 KachelY 85909 -0.32520393 -0.85048185 -18.632813 -48.729021
    Unten links KachelX 58751 KachelY + 1 85910 -0.32525186 -0.85051347 -18.635559 -48.730832
    Unten rechts KachelX + 1 58752 KachelY + 1 85910 -0.32520393 -0.85051347 -18.632813 -48.730832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85048185--0.85051347) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dl = 201.451020000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85048185--0.85051347) × R
    3.162000000001e-05 × 6371000     		dr = 201.451020000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32525186--0.32520393) × cos(-0.85048185) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659621064818522 × 6371000     		do = 201.423227383869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32525186--0.32520393) × cos(-0.85051347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.659597298949554 × 6371000     		du = 201.415970189876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85048185)-sin(-0.85051347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659621064818522-0.659597298949554)×R²
    abs(-0.32520393--0.32525186)×2.37658689683506e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37658689683506e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37658689683506e-05×40589641000000     		ar = 40576.1836269337m²