Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58751 / 29349
↖ ↑ ↗
← N 69.985836°
W 18.635559°		 ← 104.51 m → N 69.985836°
W 18.632813°		 →
↑
104.55 m
↓
↑
104.55 m
↓
N 69.984895°
W 18.635559°		 ← 104.52 m →
10 927 m²		 N 69.984895°
W 18.632813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448238372802734 y=0.223918914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448238372802734 × 217)
    floor (0.448238372802734 × 131072)
    floor (58751.5)     		tx = 58751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223918914794922 × 217)
    floor (0.223918914794922 × 131072)
    floor (29349.5)     		ty = 29349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58751 / 29349 ti = "17/58751/29349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58751/29349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58751 ÷ 217
    58751 ÷ 131072     		x = 0.448234558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29349 ÷ 217
    29349 ÷ 131072     		y = 0.223915100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448234558105469 × 2 - 1) × π
    -0.103530883789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32525186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223915100097656 × 2 - 1) × π
    0.552169799804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.73469258655097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32525186} λ = -0.32525186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73469258655097))-π/2
    2×atan(5.6671853669945)-π/2
    2×1.39613979184229-π/2
    2.79227958368457-1.57079632675     		φ = 1.22148326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32525186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.635559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22148326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.985836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58751 KachelY 29349 -0.32525186 1.22148326 -18.635559 69.985836
    Oben rechts KachelX + 1 58752 KachelY 29349 -0.32520393 1.22148326 -18.632813 69.985836
    Unten links KachelX 58751 KachelY + 1 29350 -0.32525186 1.22146685 -18.635559 69.984895
    Unten rechts KachelX + 1 58752 KachelY + 1 29350 -0.32520393 1.22146685 -18.632813 69.984895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22148326-1.22146685) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dl = 104.548109999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22148326-1.22146685) × R
    1.64099999999667e-05 × 6371000     		dr = 104.548109999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32525186--0.32520393) × cos(1.22148326) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342252440294947 × 6371000     		do = 104.510899940983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32525186--0.32520393) × cos(1.22146685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342267859216786 × 6371000     		du = 104.515608294256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22148326)-sin(1.22146685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342252440294947-0.342267859216786)×R²
    abs(-0.32520393--0.32525186)×1.54189218383727e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54189218383727e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54189218383727e-05×40589641000000     		ar = 10926.6631881803m²