Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58749 / 85929
↖ ↑ ↗
← S 48.765242°
W 18.641052°		 ← 201.32 m → S 48.765242°
W 18.638306°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
S 48.767052°
W 18.641052°		 ← 201.31 m →
40 517 m²		 S 48.767052°
W 18.638306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448223114013672 y=0.655590057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448223114013672 × 217)
    floor (0.448223114013672 × 131072)
    floor (58749.5)     		tx = 58749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655590057373047 × 217)
    floor (0.655590057373047 × 131072)
    floor (85929.5)     		ty = 85929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58749 / 85929 ti = "17/58749/85929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58749/85929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58749 ÷ 217
    58749 ÷ 131072     		x = 0.448219299316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85929 ÷ 217
    85929 ÷ 131072     		y = 0.655586242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448219299316406 × 2 - 1) × π
    -0.103561401367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32534774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655586242675781 × 2 - 1) × π
    -0.311172485351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.977577193951805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32534774} λ = -0.32534774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977577193951805))-π/2
    2×atan(0.376221507277832)-π/2
    2×0.359841150455992-π/2
    0.719682300911983-1.57079632675     		φ = -0.85111403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32534774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.641052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85111403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.765242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58749 KachelY 85929 -0.32534774 -0.85111403 -18.641052 -48.765242
    Oben rechts KachelX + 1 58750 KachelY 85929 -0.32529980 -0.85111403 -18.638306 -48.765242
    Unten links KachelX 58749 KachelY + 1 85930 -0.32534774 -0.85114562 -18.641052 -48.767052
    Unten rechts KachelX + 1 58750 KachelY + 1 85930 -0.32529980 -0.85114562 -18.638306 -48.767052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85111403--0.85114562) × R
    3.15900000000813e-05 × 6371000     		dl = 201.259890000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85111403--0.85114562) × R
    3.15900000000813e-05 × 6371000     		dr = 201.259890000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32534774--0.32529980) × cos(-0.85111403) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659145787608125 × 6371000     		do = 201.320089948195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32534774--0.32529980) × cos(-0.85114562) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659122031119708 × 6371000     		du = 201.312834105141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85111403)-sin(-0.85114562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659145787608125-0.659122031119708)×R²
    abs(-0.32529980--0.32534774)×2.37564884166819e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37564884166819e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37564884166819e-05×40589641000000     		ar = 40516.9290061634m²