Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58747 / 86011
↖ ↑ ↗
← S 48.913475°
W 18.646545°		 ← 200.73 m → S 48.913475°
W 18.643799°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
S 48.915280°
W 18.646545°		 ← 200.72 m →
40 295 m²		 S 48.915280°
W 18.643799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448207855224609 y=0.656215667724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448207855224609 × 217)
    floor (0.448207855224609 × 131072)
    floor (58747.5)     		tx = 58747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656215667724609 × 217)
    floor (0.656215667724609 × 131072)
    floor (86011.5)     		ty = 86011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58747 / 86011 ti = "17/58747/86011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58747/86011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58747 ÷ 217
    58747 ÷ 131072     		x = 0.448204040527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86011 ÷ 217
    86011 ÷ 131072     		y = 0.656211853027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448204040527344 × 2 - 1) × π
    -0.103591918945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.32544361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656211853027344 × 2 - 1) × π
    -0.312423706054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.98150801972065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32544361} λ = -0.32544361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98150801972065))-π/2
    2×atan(0.374745548850408)-π/2
    2×0.358547571150962-π/2
    0.717095142301923-1.57079632675     		φ = -0.85370118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32544361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.646545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85370118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.913475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58747 KachelY 86011 -0.32544361 -0.85370118 -18.646545 -48.913475
    Oben rechts KachelX + 1 58748 KachelY 86011 -0.32539567 -0.85370118 -18.643799 -48.913475
    Unten links KachelX 58747 KachelY + 1 86012 -0.32544361 -0.85373269 -18.646545 -48.915280
    Unten rechts KachelX + 1 58748 KachelY + 1 86012 -0.32539567 -0.85373269 -18.643799 -48.915280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85370118--0.85373269) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dl = 200.750210000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85370118--0.85373269) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dr = 200.750210000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32544361--0.32539567) × cos(-0.85370118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657198007762166 × 6371000     		do = 200.725187847154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32544361--0.32539567) × cos(-0.85373269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.65717425778267 × 6371000     		du = 200.717933992091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85370118)-sin(-0.85373269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657198007762166-0.65717425778267)×R²
    abs(-0.32539567--0.32544361)×2.37499794962792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37499794962792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37499794962792e-05×40589641000000     		ar = 40294.8955094972m²