Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58745 / 85986
↖ ↑ ↗
← S 48.868328°
W 18.652039°		 ← 200.91 m → S 48.868328°
W 18.649292°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 48.870135°
W 18.652039°		 ← 200.90 m →
40 357 m²		 S 48.870135°
W 18.649292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448192596435547 y=0.656024932861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448192596435547 × 217)
    floor (0.448192596435547 × 131072)
    floor (58745.5)     		tx = 58745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656024932861328 × 217)
    floor (0.656024932861328 × 131072)
    floor (85986.5)     		ty = 85986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58745 / 85986 ti = "17/58745/85986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58745/85986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58745 ÷ 217
    58745 ÷ 131072     		x = 0.448188781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85986 ÷ 217
    85986 ÷ 131072     		y = 0.656021118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448188781738281 × 2 - 1) × π
    -0.103622436523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32553949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656021118164062 × 2 - 1) × π
    -0.312042236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.980309597230148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32553949} λ = -0.32553949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980309597230148))-π/2
    2×atan(0.375194921559763)-π/2
    2×0.358941549452908-π/2
    0.717883098905816-1.57079632675     		φ = -0.85291323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32553949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.652039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85291323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.868328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58745 KachelY 85986 -0.32553949 -0.85291323 -18.652039 -48.868328
    Oben rechts KachelX + 1 58746 KachelY 85986 -0.32549155 -0.85291323 -18.649292 -48.868328
    Unten links KachelX 58745 KachelY + 1 85987 -0.32553949 -0.85294476 -18.652039 -48.870135
    Unten rechts KachelX + 1 58746 KachelY + 1 85987 -0.32549155 -0.85294476 -18.649292 -48.870135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85291323--0.85294476) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85291323--0.85294476) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32553949--0.32549155) × cos(-0.85291323) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657791695759649 × 6371000     		do = 200.906515443114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32553949--0.32549155) × cos(-0.85294476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657767947039929 × 6371000     		du = 200.899261972819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85291323)-sin(-0.85294476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657791695759649-0.657767947039929)×R²
    abs(-0.32549155--0.32553949)×2.3748719720329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3748719720329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3748719720329e-05×40589641000000     		ar = 40356.8961472598m²