Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58745 / 85916
↖ ↑ ↗
← S 48.741701°
W 18.652039°		 ← 201.41 m → S 48.741701°
W 18.649292°		 →
↑
201.39 m
↓
↑
201.39 m
↓
S 48.743512°
W 18.652039°		 ← 201.41 m →
40 562 m²		 S 48.743512°
W 18.649292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448192596435547 y=0.655490875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448192596435547 × 217)
    floor (0.448192596435547 × 131072)
    floor (58745.5)     		tx = 58745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655490875244141 × 217)
    floor (0.655490875244141 × 131072)
    floor (85916.5)     		ty = 85916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58745 / 85916 ti = "17/58745/85916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58745/85916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58745 ÷ 217
    58745 ÷ 131072     		x = 0.448188781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85916 ÷ 217
    85916 ÷ 131072     		y = 0.655487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448188781738281 × 2 - 1) × π
    -0.103622436523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32553949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.31097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.976954014256744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32553949} λ = -0.32553949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.976954014256744))-π/2
    2×atan(0.376456033950553)-π/2
    2×0.360046581719594-π/2
    0.720093163439188-1.57079632675     		φ = -0.85070316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32553949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.652039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85070316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.741701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58745 KachelY 85916 -0.32553949 -0.85070316 -18.652039 -48.741701
    Oben rechts KachelX + 1 58746 KachelY 85916 -0.32549155 -0.85070316 -18.649292 -48.741701
    Unten links KachelX 58745 KachelY + 1 85917 -0.32553949 -0.85073477 -18.652039 -48.743512
    Unten rechts KachelX + 1 58746 KachelY + 1 85917 -0.32549155 -0.85073477 -18.649292 -48.743512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85070316--0.85073477) × R
    3.16099999999597e-05 × 6371000     		dl = 201.387309999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85070316--0.85073477) × R
    3.16099999999597e-05 × 6371000     		dr = 201.387309999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32553949--0.32549155) × cos(-0.85070316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659454712439794 × 6371000     		do = 201.414443543279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32553949--0.32549155) × cos(-0.85073477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.659430949473232 × 6371000     		du = 201.407185721632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85070316)-sin(-0.85073477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659454712439794-0.659430949473232)×R²
    abs(-0.32549155--0.32553949)×2.37629665625905e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37629665625905e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37629665625905e-05×40589641000000     		ar = 40561.5821670472m²