Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58745 / 44969
↖ ↑ ↗
← N 49.079263°
W 18.652039°		 ← 200.06 m → N 49.079263°
W 18.649292°		 →
↑
200.05 m
↓
↑
200.05 m
↓
N 49.077464°
W 18.652039°		 ← 200.07 m →
40 022 m²		 N 49.077464°
W 18.649292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448192596435547 y=0.343090057373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448192596435547 × 217)
    floor (0.448192596435547 × 131072)
    floor (58745.5)     		tx = 58745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343090057373047 × 217)
    floor (0.343090057373047 × 131072)
    floor (44969.5)     		ty = 44969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58745 / 44969 ti = "17/58745/44969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58745/44969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58745 ÷ 217
    58745 ÷ 131072     		x = 0.448188781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44969 ÷ 217
    44969 ÷ 131072     		y = 0.343086242675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448188781738281 × 2 - 1) × π
    -0.103622436523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.32553949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343086242675781 × 2 - 1) × π
    0.313827514648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.985918214485695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32553949} λ = -0.32553949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985918214485695))-π/2
    2×atan(2.68027181928437)-π/2
    2×1.21369553331146-π/2
    2.42739106662292-1.57079632675     		φ = 0.85659474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32553949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.652039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85659474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.079263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58745 KachelY 44969 -0.32553949 0.85659474 -18.652039 49.079263
    Oben rechts KachelX + 1 58746 KachelY 44969 -0.32549155 0.85659474 -18.649292 49.079263
    Unten links KachelX 58745 KachelY + 1 44970 -0.32553949 0.85656334 -18.652039 49.077464
    Unten rechts KachelX + 1 58746 KachelY + 1 44970 -0.32549155 0.85656334 -18.649292 49.077464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85659474-0.85656334) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dl = 200.049400000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85659474-0.85656334) × R
    3.14000000000147e-05 × 6371000     		dr = 200.049400000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32553949--0.32549155) × cos(0.85659474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655014331380201 × 6371000     		do = 200.058236872272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32553949--0.32549155) × cos(0.85656334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.655038057413947 × 6371000     		du = 200.065483413686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85659474)-sin(0.85656334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655014331380201-0.655038057413947)×R²
    abs(-0.32549155--0.32553949)×2.37260337454526e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37260337454526e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37260337454526e-05×40589641000000     		ar = 40022.2550878813m²