Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58744 / 85802
↖ ↑ ↗
← S 48.534795°
W 18.654785°		 ← 202.20 m → S 48.534795°
W 18.652039°		 →
↑
202.22 m
↓
↑
202.22 m
↓
S 48.536613°
W 18.654785°		 ← 202.19 m →
40 887 m²		 S 48.536613°
W 18.652039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448184967041016 y=0.654621124267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448184967041016 × 217)
    floor (0.448184967041016 × 131072)
    floor (58744.5)     		tx = 58744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654621124267578 × 217)
    floor (0.654621124267578 × 131072)
    floor (85802.5)     		ty = 85802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58744 / 85802 ti = "17/58744/85802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58744/85802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58744 ÷ 217
    58744 ÷ 131072     		x = 0.44818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85802 ÷ 217
    85802 ÷ 131072     		y = 0.654617309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654617309570312 × 2 - 1) × π
    -0.309234619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.971489207700058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32558742} λ = -0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971489207700058))-π/2
    2×atan(0.378518924869235)-π/2
    2×0.361852180302482-π/2
    0.723704360604964-1.57079632675     		φ = -0.84709197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84709197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.534795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58744 KachelY 85802 -0.32558742 -0.84709197 -18.654785 -48.534795
    Oben rechts KachelX + 1 58745 KachelY 85802 -0.32553949 -0.84709197 -18.652039 -48.534795
    Unten links KachelX 58744 KachelY + 1 85803 -0.32558742 -0.84712371 -18.654785 -48.536613
    Unten rechts KachelX + 1 58745 KachelY + 1 85803 -0.32553949 -0.84712371 -18.652039 -48.536613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84709197--0.84712371) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dl = 202.215539999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84709197--0.84712371) × R
    3.17399999999468e-05 × 6371000     		dr = 202.215539999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32558742--0.32553949) × cos(-0.84709197) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662165098144808 × 6371000     		do = 202.200078564772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32558742--0.32553949) × cos(-0.84712371) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662141313188973 × 6371000     		du = 202.192815542374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84709197)-sin(-0.84712371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662165098144808-0.662141313188973)×R²
    abs(-0.32553949--0.32558742)×2.37849558357706e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37849558357706e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37849558357706e-05×40589641000000     		ar = 40887.2637305464m²