Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58744 / 45577
↖ ↑ ↗
← N 47.973375°
W 18.654785°		 ← 204.43 m → N 47.973375°
W 18.652039°		 →
↑
204.45 m
↓
↑
204.45 m
↓
N 47.971537°
W 18.654785°		 ← 204.44 m →
41 796 m²		 N 47.971537°
W 18.652039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448184967041016 y=0.347728729248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448184967041016 × 217)
    floor (0.448184967041016 × 131072)
    floor (58744.5)     		tx = 58744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347728729248047 × 217)
    floor (0.347728729248047 × 131072)
    floor (45577.5)     		ty = 45577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58744 / 45577 ti = "17/58744/45577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58744/45577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58744 ÷ 217
    58744 ÷ 131072     		x = 0.44818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45577 ÷ 217
    45577 ÷ 131072     		y = 0.347724914550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347724914550781 × 2 - 1) × π
    0.304550170898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.956772579516701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32558742} λ = -0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.956772579516701))-π/2
    2×atan(2.60328101813979)-π/2
    2×1.20404484027679-π/2
    2.40808968055359-1.57079632675     		φ = 0.83729335
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83729335 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.973375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58744 KachelY 45577 -0.32558742 0.83729335 -18.654785 47.973375
    Oben rechts KachelX + 1 58745 KachelY 45577 -0.32553949 0.83729335 -18.652039 47.973375
    Unten links KachelX 58744 KachelY + 1 45578 -0.32558742 0.83726126 -18.654785 47.971537
    Unten rechts KachelX + 1 58745 KachelY + 1 45578 -0.32553949 0.83726126 -18.652039 47.971537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83729335-0.83726126) × R
    3.20900000000401e-05 × 6371000     		dl = 204.445390000256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83729335-0.83726126) × R
    3.20900000000401e-05 × 6371000     		dr = 204.445390000256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32558742--0.32553949) × cos(0.83729335) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.669475866781521 × 6371000     		do = 204.43250971654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32558742--0.32553949) × cos(0.83726126) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.669499703973659 × 6371000     		du = 204.439788689921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83729335)-sin(0.83726126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669475866781521-0.669499703973659)×R²
    abs(-0.32553949--0.32558742)×2.38371921380542e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38371921380542e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38371921380542e-05×40589641000000     		ar = 41796.0282574743m²