Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58744 / 31353
↖ ↑ ↗
← N 68.014770°
W 18.654785°		 ← 114.32 m → N 68.014770°
W 18.652039°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
N 68.013742°
W 18.654785°		 ← 114.32 m →
13 066 m²		 N 68.013742°
W 18.652039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448184967041016 y=0.239208221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448184967041016 × 217)
    floor (0.448184967041016 × 131072)
    floor (58744.5)     		tx = 58744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239208221435547 × 217)
    floor (0.239208221435547 × 131072)
    floor (31353.5)     		ty = 31353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58744 / 31353 ti = "17/58744/31353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58744/31353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58744 ÷ 217
    58744 ÷ 131072     		x = 0.44818115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31353 ÷ 217
    31353 ÷ 131072     		y = 0.239204406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44818115234375 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32558742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239204406738281 × 2 - 1) × π
    0.521591186523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.63862703971238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32558742} λ = -0.32558742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63862703971238))-π/2
    2×atan(5.14809652579424)-π/2
    2×1.37893899950821-π/2
    2.75787799901642-1.57079632675     		φ = 1.18708167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32558742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.654785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18708167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.014770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58744 KachelY 31353 -0.32558742 1.18708167 -18.654785 68.014770
    Oben rechts KachelX + 1 58745 KachelY 31353 -0.32553949 1.18708167 -18.652039 68.014770
    Unten links KachelX 58744 KachelY + 1 31354 -0.32558742 1.18706373 -18.654785 68.013742
    Unten rechts KachelX + 1 58745 KachelY + 1 31354 -0.32553949 1.18706373 -18.652039 68.013742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18708167-1.18706373) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18708167-1.18706373) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32558742--0.32553949) × cos(1.18708167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374367572775652 × 6371000     		do = 114.317641989016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32558742--0.32553949) × cos(1.18706373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374384208125592 × 6371000     		du = 114.322721793243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18708167)-sin(1.18706373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374367572775652-0.374384208125592)×R²
    abs(-0.32553949--0.32558742)×1.6635349939953e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6635349939953e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6635349939953e-05×40589641000000     		ar = 13066.3097864427m²