Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58743 / 85987
↖ ↑ ↗
← S 48.870135°
W 18.657532°		 ← 200.90 m → S 48.870135°
W 18.654785°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 48.871941°
W 18.657532°		 ← 200.89 m →
40 355 m²		 S 48.871941°
W 18.654785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448177337646484 y=0.656032562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448177337646484 × 217)
    floor (0.448177337646484 × 131072)
    floor (58743.5)     		tx = 58743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656032562255859 × 217)
    floor (0.656032562255859 × 131072)
    floor (85987.5)     		ty = 85987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58743 / 85987 ti = "17/58743/85987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58743/85987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58743 ÷ 217
    58743 ÷ 131072     		x = 0.448173522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85987 ÷ 217
    85987 ÷ 131072     		y = 0.656028747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448173522949219 × 2 - 1) × π
    -0.103652954101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32563536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656028747558594 × 2 - 1) × π
    -0.312057495117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.980357534129768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32563536} λ = -0.32563536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980357534129768))-π/2
    2×atan(0.375176936309552)-π/2
    2×0.358925783490253-π/2
    0.717851566980505-1.57079632675     		φ = -0.85294476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32563536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.657532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85294476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.870135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58743 KachelY 85987 -0.32563536 -0.85294476 -18.657532 -48.870135
    Oben rechts KachelX + 1 58744 KachelY 85987 -0.32558742 -0.85294476 -18.654785 -48.870135
    Unten links KachelX 58743 KachelY + 1 85988 -0.32563536 -0.85297629 -18.657532 -48.871941
    Unten rechts KachelX + 1 58744 KachelY + 1 85988 -0.32558742 -0.85297629 -18.654785 -48.871941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85294476--0.85297629) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85294476--0.85297629) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32563536--0.32558742) × cos(-0.85294476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657767947039929 × 6371000     		do = 200.899261972819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32563536--0.32558742) × cos(-0.85297629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657744197666295 × 6371000     		du = 200.892008302803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85294476)-sin(-0.85297629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657767947039929-0.657744197666295)×R²
    abs(-0.32558742--0.32563536)×2.3749373634474e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3749373634474e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3749373634474e-05×40589641000000     		ar = 40355.4390670253m²