Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58743 / 35739
↖ ↑ ↗
← N 63.041266°
W 18.657532°		 ← 138.46 m → N 63.041266°
W 18.654785°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
N 63.040021°
W 18.657532°		 ← 138.47 m →
19 170 m²		 N 63.040021°
W 18.654785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448177337646484 y=0.272670745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448177337646484 × 217)
    floor (0.448177337646484 × 131072)
    floor (58743.5)     		tx = 58743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272670745849609 × 217)
    floor (0.272670745849609 × 131072)
    floor (35739.5)     		ty = 35739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58743 / 35739 ti = "17/58743/35739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58743/35739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58743 ÷ 217
    58743 ÷ 131072     		x = 0.448173522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35739 ÷ 217
    35739 ÷ 131072     		y = 0.272666931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448173522949219 × 2 - 1) × π
    -0.103652954101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.32563536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272666931152344 × 2 - 1) × π
    0.454666137695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.42837579797881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32563536} λ = -0.32563536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42837579797881))-π/2
    2×atan(4.17191764903845)-π/2
    2×1.33553698960485-π/2
    2.6710739792097-1.57079632675     		φ = 1.10027765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32563536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.657532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10027765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.041266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58743 KachelY 35739 -0.32563536 1.10027765 -18.657532 63.041266
    Oben rechts KachelX + 1 58744 KachelY 35739 -0.32558742 1.10027765 -18.654785 63.041266
    Unten links KachelX 58743 KachelY + 1 35740 -0.32563536 1.10025592 -18.657532 63.040021
    Unten rechts KachelX + 1 58744 KachelY + 1 35740 -0.32558742 1.10025592 -18.654785 63.040021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10027765-1.10025592) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10027765-1.10025592) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32563536--0.32558742) × cos(1.10027765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453348660221481 × 6371000     		do = 138.464350026064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32563536--0.32558742) × cos(1.10025592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453368028786331 × 6371000     		du = 138.470265684316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10027765)-sin(1.10025592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453348660221481-0.453368028786331)×R²
    abs(-0.32558742--0.32563536)×1.93685648492981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93685648492981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93685648492981e-05×40589641000000     		ar = 19169.667495537m²