Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58742 / 86334
↖ ↑ ↗
← S 49.493107°
W 18.660279°		 ← 198.39 m → S 49.493107°
W 18.657532°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
S 49.494890°
W 18.660279°		 ← 198.38 m →
39 345 m²		 S 49.494890°
W 18.657532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448169708251953 y=0.658679962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448169708251953 × 217)
    floor (0.448169708251953 × 131072)
    floor (58742.5)     		tx = 58742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658679962158203 × 217)
    floor (0.658679962158203 × 131072)
    floor (86334.5)     		ty = 86334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58742 / 86334 ti = "17/58742/86334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58742/86334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58742 ÷ 217
    58742 ÷ 131072     		x = 0.448165893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86334 ÷ 217
    86334 ÷ 131072     		y = 0.658676147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448165893554688 × 2 - 1) × π
    -0.103668212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32568330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658676147460938 × 2 - 1) × π
    -0.317352294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.996991638297928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32568330} λ = -0.32568330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996991638297928))-π/2
    2×atan(0.368987821962478)-π/2
    2×0.353489329536886-π/2
    0.706978659073772-1.57079632675     		φ = -0.86381767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32568330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.660279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86381767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.493107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58742 KachelY 86334 -0.32568330 -0.86381767 -18.660279 -49.493107
    Oben rechts KachelX + 1 58743 KachelY 86334 -0.32563536 -0.86381767 -18.657532 -49.493107
    Unten links KachelX 58742 KachelY + 1 86335 -0.32568330 -0.86384880 -18.660279 -49.494890
    Unten rechts KachelX + 1 58743 KachelY + 1 86335 -0.32563536 -0.86384880 -18.657532 -49.494890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86381767--0.86384880) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86381767--0.86384880) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32568330--0.32563536) × cos(-0.86381767) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649539527871648 × 6371000     		do = 198.386090959548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32568330--0.32563536) × cos(-0.86384880) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649515858551728 × 6371000     		du = 198.378861739996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86381767)-sin(-0.86384880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649539527871648-0.649515858551728)×R²
    abs(-0.32563536--0.32568330)×2.3669319920705e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3669319920705e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3669319920705e-05×40589641000000     		ar = 39345.0437831456m²