Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58742 / 44986
↖ ↑ ↗
← N 49.048670°
W 18.660279°		 ← 200.18 m → N 49.048670°
W 18.657532°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
N 49.046870°
W 18.660279°		 ← 200.19 m →
40 072 m²		 N 49.046870°
W 18.657532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448169708251953 y=0.343219757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448169708251953 × 217)
    floor (0.448169708251953 × 131072)
    floor (58742.5)     		tx = 58742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343219757080078 × 217)
    floor (0.343219757080078 × 131072)
    floor (44986.5)     		ty = 44986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58742 / 44986 ti = "17/58742/44986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58742/44986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58742 ÷ 217
    58742 ÷ 131072     		x = 0.448165893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44986 ÷ 217
    44986 ÷ 131072     		y = 0.343215942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448165893554688 × 2 - 1) × π
    -0.103668212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32568330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343215942382812 × 2 - 1) × π
    0.313568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.985103287192154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32568330} λ = -0.32568330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985103287192154))-π/2
    2×atan(2.67808848237597)-π/2
    2×1.21342855660592-π/2
    2.42685711321184-1.57079632675     		φ = 0.85606079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32568330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.660279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85606079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.048670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58742 KachelY 44986 -0.32568330 0.85606079 -18.660279 49.048670
    Oben rechts KachelX + 1 58743 KachelY 44986 -0.32563536 0.85606079 -18.657532 49.048670
    Unten links KachelX 58742 KachelY + 1 44987 -0.32568330 0.85602937 -18.660279 49.046870
    Unten rechts KachelX + 1 58743 KachelY + 1 44987 -0.32563536 0.85602937 -18.657532 49.046870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85606079-0.85602937) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85606079-0.85602937) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32568330--0.32563536) × cos(0.85606079) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655417699393546 × 6371000     		do = 200.181435846472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32568330--0.32563536) × cos(0.85602937) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655441429546642 × 6371000     		du = 200.188683646041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85606079)-sin(0.85602937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655417699393546-0.655441429546642)×R²
    abs(-0.32563536--0.32568330)×2.37301530953138e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37301530953138e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37301530953138e-05×40589641000000     		ar = 40072.4086747384m²