Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58741 / 44990
↖ ↑ ↗
← N 49.041469°
W 18.663025°		 ← 200.17 m → N 49.041469°
W 18.660279°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
N 49.039669°
W 18.663025°		 ← 200.18 m →
40 070 m²		 N 49.039669°
W 18.660279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448162078857422 y=0.343250274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448162078857422 × 217)
    floor (0.448162078857422 × 131072)
    floor (58741.5)     		tx = 58741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343250274658203 × 217)
    floor (0.343250274658203 × 131072)
    floor (44990.5)     		ty = 44990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58741 / 44990 ti = "17/58741/44990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58741/44990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58741 ÷ 217
    58741 ÷ 131072     		x = 0.448158264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44990 ÷ 217
    44990 ÷ 131072     		y = 0.343246459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448158264160156 × 2 - 1) × π
    -0.103683471679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32573123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343246459960938 × 2 - 1) × π
    0.313507080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.984911539593674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32573123} λ = -0.32573123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984911539593674))-π/2
    2×atan(2.67757501457064)-π/2
    2×1.2133657146706-π/2
    2.42673142934121-1.57079632675     		φ = 0.85593510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32573123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.663025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85593510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.041469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58741 KachelY 44990 -0.32573123 0.85593510 -18.663025 49.041469
    Oben rechts KachelX + 1 58742 KachelY 44990 -0.32568330 0.85593510 -18.660279 49.041469
    Unten links KachelX 58741 KachelY + 1 44991 -0.32573123 0.85590368 -18.663025 49.039669
    Unten rechts KachelX + 1 58742 KachelY + 1 44991 -0.32568330 0.85590368 -18.660279 49.039669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85593510-0.85590368) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85593510-0.85590368) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32573123--0.32568330) × cos(0.85593510) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.655512623675301 × 6371000     		do = 200.168665456007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32573123--0.32568330) × cos(0.85590368) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.6555363512398 × 6371000     		du = 200.175910953269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85593510)-sin(0.85590368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655512623675301-0.6555363512398)×R²
    abs(-0.32568330--0.32573123)×2.37275644986434e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37275644986434e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37275644986434e-05×40589641000000     		ar = 40069.8521083599m²