Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58741 / 44983
↖ ↑ ↗
← N 49.054070°
W 18.663025°		 ← 200.12 m → N 49.054070°
W 18.660279°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
N 49.052270°
W 18.663025°		 ← 200.13 m →
40 060 m²		 N 49.052270°
W 18.660279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448162078857422 y=0.343196868896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448162078857422 × 217)
    floor (0.448162078857422 × 131072)
    floor (58741.5)     		tx = 58741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343196868896484 × 217)
    floor (0.343196868896484 × 131072)
    floor (44983.5)     		ty = 44983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58741 / 44983 ti = "17/58741/44983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58741/44983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58741 ÷ 217
    58741 ÷ 131072     		x = 0.448158264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44983 ÷ 217
    44983 ÷ 131072     		y = 0.343193054199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448158264160156 × 2 - 1) × π
    -0.103683471679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.32573123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343193054199219 × 2 - 1) × π
    0.313613891601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.985247097891014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32573123} λ = -0.32573123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985247097891014))-π/2
    2×atan(2.67847364784703)-π/2
    2×1.21347568208542-π/2
    2.42695136417084-1.57079632675     		φ = 0.85615504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32573123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.663025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85615504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.054070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58741 KachelY 44983 -0.32573123 0.85615504 -18.663025 49.054070
    Oben rechts KachelX + 1 58742 KachelY 44983 -0.32568330 0.85615504 -18.660279 49.054070
    Unten links KachelX 58741 KachelY + 1 44984 -0.32573123 0.85612362 -18.663025 49.052270
    Unten rechts KachelX + 1 58742 KachelY + 1 44984 -0.32568330 0.85612362 -18.660279 49.052270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85615504-0.85612362) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85615504-0.85612362) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32573123--0.32568330) × cos(0.85615504) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.655346512605404 × 6371000     		do = 200.117941442497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32573123--0.32568330) × cos(0.85612362) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.65537024469934 × 6371000     		du = 200.125188322878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85615504)-sin(0.85612362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655346512605404-0.65537024469934)×R²
    abs(-0.32568330--0.32573123)×2.37320939363572e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37320939363572e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37320939363572e-05×40589641000000     		ar = 40059.6984750369m²