Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58740 / 85995
↖ ↑ ↗
← S 48.884585°
W 18.665771°		 ← 200.84 m → S 48.884585°
W 18.663025°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 48.886392°
W 18.665771°		 ← 200.83 m →
40 344 m²		 S 48.886392°
W 18.663025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448154449462891 y=0.656093597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448154449462891 × 217)
    floor (0.448154449462891 × 131072)
    floor (58740.5)     		tx = 58740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656093597412109 × 217)
    floor (0.656093597412109 × 131072)
    floor (85995.5)     		ty = 85995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58740 / 85995 ti = "17/58740/85995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58740/85995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58740 ÷ 217
    58740 ÷ 131072     		x = 0.448150634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85995 ÷ 217
    85995 ÷ 131072     		y = 0.656089782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448150634765625 × 2 - 1) × π
    -0.10369873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32577917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656089782714844 × 2 - 1) × π
    -0.312179565429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.980741029326729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32577917} λ = -0.32577917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980741029326729))-π/2
    2×atan(0.375033085341308)-π/2
    2×0.358799676281681-π/2
    0.717599352563362-1.57079632675     		φ = -0.85319697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32577917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.665771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85319697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.884585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58740 KachelY 85995 -0.32577917 -0.85319697 -18.665771 -48.884585
    Oben rechts KachelX + 1 58741 KachelY 85995 -0.32573123 -0.85319697 -18.663025 -48.884585
    Unten links KachelX 58740 KachelY + 1 85996 -0.32577917 -0.85322850 -18.665771 -48.886392
    Unten rechts KachelX + 1 58741 KachelY + 1 85996 -0.32573123 -0.85322850 -18.663025 -48.886392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85319697--0.85322850) × R
    3.15299999998908e-05 × 6371000     		dl = 200.877629999304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85319697--0.85322850) × R
    3.15299999998908e-05 × 6371000     		dr = 200.877629999304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32577917--0.32573123) × cos(-0.85319697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.65757795634484 × 6371000     		do = 200.841233924411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32577917--0.32573123) × cos(-0.85322850) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657554201741365 × 6371000     		du = 200.833978657067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85319697)-sin(-0.85322850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65757795634484-0.657554201741365)×R²
    abs(-0.32573123--0.32577917)×2.37546034744796e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37546034744796e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37546034744796e-05×40589641000000     		ar = 40343.7823698917m²