Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58739 / 46167
↖ ↑ ↗
← N 46.877091°
W 18.668518°		 ← 208.78 m → N 46.877091°
W 18.665771°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
N 46.875213°
W 18.668518°		 ← 208.79 m →
43 589 m²		 N 46.875213°
W 18.665771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448146820068359 y=0.352230072021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448146820068359 × 217)
    floor (0.448146820068359 × 131072)
    floor (58739.5)     		tx = 58739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352230072021484 × 217)
    floor (0.352230072021484 × 131072)
    floor (46167.5)     		ty = 46167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58739 / 46167 ti = "17/58739/46167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58739/46167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58739 ÷ 217
    58739 ÷ 131072     		x = 0.448143005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46167 ÷ 217
    46167 ÷ 131072     		y = 0.352226257324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448143005371094 × 2 - 1) × π
    -0.103713989257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32582711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352226257324219 × 2 - 1) × π
    0.295547485351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.928489808740868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32582711} λ = -0.32582711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928489808740868))-π/2
    2×atan(2.53068447275646)-π/2
    2×1.19447795335826-π/2
    2.38895590671652-1.57079632675     		φ = 0.81815958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32582711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.668518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81815958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.877091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58739 KachelY 46167 -0.32582711 0.81815958 -18.668518 46.877091
    Oben rechts KachelX + 1 58740 KachelY 46167 -0.32577917 0.81815958 -18.665771 46.877091
    Unten links KachelX 58739 KachelY + 1 46168 -0.32582711 0.81812681 -18.668518 46.875213
    Unten rechts KachelX + 1 58740 KachelY + 1 46168 -0.32577917 0.81812681 -18.665771 46.875213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81815958-0.81812681) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81815958-0.81812681) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32582711--0.32577917) × cos(0.81815958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683565666544913 × 6371000     		do = 208.778549542936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32582711--0.32577917) × cos(0.81812681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683589584641018 × 6371000     		du = 208.785854745139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81815958)-sin(0.81812681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683565666544913-0.683589584641018)×R²
    abs(-0.32577917--0.32582711)×2.39180961050245e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39180961050245e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39180961050245e-05×40589641000000     		ar = 43589.061705206m²