Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58739 / 45585
↖ ↑ ↗
← N 47.958663°
W 18.668518°		 ← 204.53 m → N 47.958663°
W 18.665771°		 →
↑
204.57 m
↓
↑
204.57 m
↓
N 47.956824°
W 18.668518°		 ← 204.54 m →
41 843 m²		 N 47.956824°
W 18.665771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448146820068359 y=0.347789764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448146820068359 × 217)
    floor (0.448146820068359 × 131072)
    floor (58739.5)     		tx = 58739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347789764404297 × 217)
    floor (0.347789764404297 × 131072)
    floor (45585.5)     		ty = 45585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58739 / 45585 ti = "17/58739/45585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58739/45585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58739 ÷ 217
    58739 ÷ 131072     		x = 0.448143005371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45585 ÷ 217
    45585 ÷ 131072     		y = 0.347785949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448143005371094 × 2 - 1) × π
    -0.103713989257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.32582711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347785949707031 × 2 - 1) × π
    0.304428100585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.95638908431974
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32582711} λ = -0.32582711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.95638908431974))-π/2
    2×atan(2.60228286377893)-π/2
    2×1.20391645160267-π/2
    2.40783290320533-1.57079632675     		φ = 0.83703658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32582711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.668518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83703658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.958663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58739 KachelY 45585 -0.32582711 0.83703658 -18.668518 47.958663
    Oben rechts KachelX + 1 58740 KachelY 45585 -0.32577917 0.83703658 -18.665771 47.958663
    Unten links KachelX 58739 KachelY + 1 45586 -0.32582711 0.83700447 -18.668518 47.956824
    Unten rechts KachelX + 1 58740 KachelY + 1 45586 -0.32577917 0.83700447 -18.665771 47.956824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83703658-0.83700447) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dl = 204.572810000189m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83703658-0.83700447) × R
    3.21100000000296e-05 × 6371000     		dr = 204.572810000189m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32582711--0.32577917) × cos(0.83703658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669666582146321 × 6371000     		do = 204.533411405177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32582711--0.32577917) × cos(0.83700447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669690428674069 × 6371000     		du = 204.540694748561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83703658)-sin(0.83700447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669666582146321-0.669690428674069)×R²
    abs(-0.32577917--0.32582711)×2.38465277484501e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38465277484501e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38465277484501e-05×40589641000000     		ar = 41842.7197007419m²