Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58738 / 44991
↖ ↑ ↗
← N 49.039669°
W 18.671264°		 ← 200.18 m → N 49.039669°
W 18.668518°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
N 49.037868°
W 18.671264°		 ← 200.18 m →
40 084 m²		 N 49.037868°
W 18.668518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448139190673828 y=0.343257904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448139190673828 × 217)
    floor (0.448139190673828 × 131072)
    floor (58738.5)     		tx = 58738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343257904052734 × 217)
    floor (0.343257904052734 × 131072)
    floor (44991.5)     		ty = 44991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58738 / 44991 ti = "17/58738/44991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58738/44991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58738 ÷ 217
    58738 ÷ 131072     		x = 0.448135375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44991 ÷ 217
    44991 ÷ 131072     		y = 0.343254089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448135375976562 × 2 - 1) × π
    -0.103729248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32587504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343254089355469 × 2 - 1) × π
    0.313491821289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.984863602694054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32587504} λ = -0.32587504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984863602694054))-π/2
    2×atan(2.67744666300236)-π/2
    2×1.21335000276484-π/2
    2.42670000552968-1.57079632675     		φ = 0.85590368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32587504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.671264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85590368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.039669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58738 KachelY 44991 -0.32587504 0.85590368 -18.671264 49.039669
    Oben rechts KachelX + 1 58739 KachelY 44991 -0.32582711 0.85590368 -18.668518 49.039669
    Unten links KachelX 58738 KachelY + 1 44992 -0.32587504 0.85587225 -18.671264 49.037868
    Unten rechts KachelX + 1 58739 KachelY + 1 44992 -0.32582711 0.85587225 -18.668518 49.037868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85590368-0.85587225) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dl = 200.24052999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85590368-0.85587225) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dr = 200.24052999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32587504--0.32582711) × cos(0.85590368) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.6555363512398 × 6371000     		do = 200.175910953501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32587504--0.32582711) × cos(0.85587225) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.655560085708572 × 6371000     		du = 200.183158559066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85590368)-sin(0.85587225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6555363512398-0.655560085708572)×R²
    abs(-0.32582711--0.32587504)×2.37344687724628e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37344687724628e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37344687724628e-05×40589641000000     		ar = 40084.0561379454m²