Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58737 / 86002
↖ ↑ ↗
← S 48.897227°
W 18.674011°		 ← 200.79 m → S 48.897227°
W 18.671264°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
S 48.899033°
W 18.674011°		 ← 200.78 m →
40 321 m²		 S 48.899033°
W 18.671264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448131561279297 y=0.656147003173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448131561279297 × 217)
    floor (0.448131561279297 × 131072)
    floor (58737.5)     		tx = 58737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656147003173828 × 217)
    floor (0.656147003173828 × 131072)
    floor (86002.5)     		ty = 86002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58737 / 86002 ti = "17/58737/86002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58737/86002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58737 ÷ 217
    58737 ÷ 131072     		x = 0.448127746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86002 ÷ 217
    86002 ÷ 131072     		y = 0.656143188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448127746582031 × 2 - 1) × π
    -0.103744506835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.32592298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656143188476562 × 2 - 1) × π
    -0.312286376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.981076587624069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32592298} λ = -0.32592298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.981076587624069))-π/2
    2×atan(0.374907260989628)-π/2
    2×0.35868936235796-π/2
    0.717378724715919-1.57079632675     		φ = -0.85341760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32592298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.674011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85341760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.897227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58737 KachelY 86002 -0.32592298 -0.85341760 -18.674011 -48.897227
    Oben rechts KachelX + 1 58738 KachelY 86002 -0.32587504 -0.85341760 -18.671264 -48.897227
    Unten links KachelX 58737 KachelY + 1 86003 -0.32592298 -0.85344912 -18.674011 -48.899033
    Unten rechts KachelX + 1 58738 KachelY + 1 86003 -0.32587504 -0.85344912 -18.671264 -48.899033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85341760--0.85344912) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dl = 200.813919999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85341760--0.85344912) × R
    3.15199999999516e-05 × 6371000     		dr = 200.813919999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32592298--0.32587504) × cos(-0.85341760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657411720676141 × 6371000     		do = 200.790461272052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32592298--0.32587504) × cos(-0.85344912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657387969034432 × 6371000     		du = 200.783206909307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85341760)-sin(-0.85344912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657411720676141-0.657387969034432)×R²
    abs(-0.32587504--0.32592298)×2.37516417080919e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37516417080919e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37516417080919e-05×40589641000000     		ar = 40320.7912413265m²