Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58735 / 85989
↖ ↑ ↗
← S 48.873748°
W 18.679504°		 ← 200.84 m → S 48.873748°
W 18.676758°		 →
↑
200.88 m
↓
↑
200.88 m
↓
S 48.875555°
W 18.679504°		 ← 200.84 m →
40 344 m²		 S 48.875555°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448116302490234 y=0.656047821044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448116302490234 × 217)
    floor (0.448116302490234 × 131072)
    floor (58735.5)     		tx = 58735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656047821044922 × 217)
    floor (0.656047821044922 × 131072)
    floor (85989.5)     		ty = 85989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58735 / 85989 ti = "17/58735/85989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58735/85989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58735 ÷ 217
    58735 ÷ 131072     		x = 0.448112487792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85989 ÷ 217
    85989 ÷ 131072     		y = 0.656044006347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448112487792969 × 2 - 1) × π
    -0.103775024414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.32601885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656044006347656 × 2 - 1) × π
    -0.312088012695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.980453407929008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32601885} λ = -0.32601885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980453407929008))-π/2
    2×atan(0.375140968395499)-π/2
    2×0.358894253272694-π/2
    0.717788506545387-1.57079632675     		φ = -0.85300782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32601885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.679504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85300782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.873748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58735 KachelY 85989 -0.32601885 -0.85300782 -18.679504 -48.873748
    Oben rechts KachelX + 1 58736 KachelY 85989 -0.32597092 -0.85300782 -18.676758 -48.873748
    Unten links KachelX 58735 KachelY + 1 85990 -0.32601885 -0.85303935 -18.679504 -48.875555
    Unten rechts KachelX + 1 58736 KachelY + 1 85990 -0.32597092 -0.85303935 -18.676758 -48.875555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85300782--0.85303935) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dl = 200.877630000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85300782--0.85303935) × R
    3.15300000000018e-05 × 6371000     		dr = 200.877630000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32601885--0.32597092) × cos(-0.85300782) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65772044763877 × 6371000     		do = 200.842851063606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32601885--0.32597092) × cos(-0.85303935) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.657696696957378 × 6371000     		du = 200.835598507323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85300782)-sin(-0.85303935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65772044763877-0.657696696957378)×R²
    abs(-0.32597092--0.32601885)×2.37506813915989e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37506813915989e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37506813915989e-05×40589641000000     		ar = 40344.1074893051m²