Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58734 / 85978
↖ ↑ ↗
← S 48.853873°
W 18.682251°		 ← 200.96 m → S 48.853873°
W 18.679504°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
S 48.855680°
W 18.682251°		 ← 200.96 m →
40 381 m²		 S 48.855680°
W 18.679504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448108673095703 y=0.655963897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448108673095703 × 217)
    floor (0.448108673095703 × 131072)
    floor (58734.5)     		tx = 58734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655963897705078 × 217)
    floor (0.655963897705078 × 131072)
    floor (85978.5)     		ty = 85978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58734 / 85978 ti = "17/58734/85978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58734/85978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58734 ÷ 217
    58734 ÷ 131072     		x = 0.448104858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85978 ÷ 217
    85978 ÷ 131072     		y = 0.655960083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448104858398438 × 2 - 1) × π
    -0.103790283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32606679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655960083007812 × 2 - 1) × π
    -0.311920166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.979926102033188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32606679} λ = -0.32606679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.979926102033188))-π/2
    2×atan(0.375338834603322)-π/2
    2×0.359067697647821-π/2
    0.718135395295643-1.57079632675     		φ = -0.85266093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32606679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.682251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85266093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.853873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58734 KachelY 85978 -0.32606679 -0.85266093 -18.682251 -48.853873
    Oben rechts KachelX + 1 58735 KachelY 85978 -0.32601885 -0.85266093 -18.679504 -48.853873
    Unten links KachelX 58734 KachelY + 1 85979 -0.32606679 -0.85269247 -18.682251 -48.855680
    Unten rechts KachelX + 1 58735 KachelY + 1 85979 -0.32601885 -0.85269247 -18.679504 -48.855680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85266093--0.85269247) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dl = 200.941340000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85266093--0.85269247) × R
    3.15400000000521e-05 × 6371000     		dr = 200.941340000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32606679--0.32601885) × cos(-0.85266093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657981707155711 × 6371000     		do = 200.964549814365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32606679--0.32601885) × cos(-0.85269247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657957956138851 × 6371000     		du = 200.957295642464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85266093)-sin(-0.85269247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657981707155711-0.657957956138851)×R²
    abs(-0.32601885--0.32606679)×2.37510168602517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37510168602517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37510168602517e-05×40589641000000     		ar = 40381.3571040031m²