Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58734 / 29378
↖ ↑ ↗
← N 69.958557°
W 18.682251°		 ← 104.67 m → N 69.958557°
W 18.679504°		 →
↑
104.68 m
↓
↑
104.68 m
↓
N 69.957616°
W 18.682251°		 ← 104.67 m →
10 957 m²		 N 69.957616°
W 18.679504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448108673095703 y=0.224140167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448108673095703 × 217)
    floor (0.448108673095703 × 131072)
    floor (58734.5)     		tx = 58734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224140167236328 × 217)
    floor (0.224140167236328 × 131072)
    floor (29378.5)     		ty = 29378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58734 / 29378 ti = "17/58734/29378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58734/29378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58734 ÷ 217
    58734 ÷ 131072     		x = 0.448104858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29378 ÷ 217
    29378 ÷ 131072     		y = 0.224136352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448104858398438 × 2 - 1) × π
    -0.103790283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32606679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224136352539062 × 2 - 1) × π
    0.551727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73330241646199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32606679} λ = -0.32606679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73330241646199))-π/2
    2×atan(5.65931248899625)-π/2
    2×1.39590174185817-π/2
    2.79180348371634-1.57079632675     		φ = 1.22100716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32606679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.682251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22100716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.958557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58734 KachelY 29378 -0.32606679 1.22100716 -18.682251 69.958557
    Oben rechts KachelX + 1 58735 KachelY 29378 -0.32601885 1.22100716 -18.679504 69.958557
    Unten links KachelX 58734 KachelY + 1 29379 -0.32606679 1.22099073 -18.682251 69.957616
    Unten rechts KachelX + 1 58735 KachelY + 1 29379 -0.32601885 1.22099073 -18.679504 69.957616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22100716-1.22099073) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dl = 104.675530000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22100716-1.22099073) × R
    1.64300000000672e-05 × 6371000     		dr = 104.675530000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32606679--0.32601885) × cos(1.22100716) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342699748876069 × 6371000     		do = 104.669324398219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32606679--0.32601885) × cos(1.22099073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342715183910937 × 6371000     		du = 104.674038655165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22100716)-sin(1.22099073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342699748876069-0.342715183910937)×R²
    abs(-0.32601885--0.32606679)×1.54350348678389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54350348678389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54350348678389e-05×40589641000000     		ar = 10956.5637400712m²