Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58733 / 45003
↖ ↑ ↗
← N 49.018058°
W 18.684998°		 ← 200.30 m → N 49.018058°
W 18.682251°		 →
↑
200.24 m
↓
↑
200.24 m
↓
N 49.016257°
W 18.684998°		 ← 200.31 m →
40 110 m²		 N 49.016257°
W 18.682251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448101043701172 y=0.343349456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448101043701172 × 217)
    floor (0.448101043701172 × 131072)
    floor (58733.5)     		tx = 58733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343349456787109 × 217)
    floor (0.343349456787109 × 131072)
    floor (45003.5)     		ty = 45003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58733 / 45003 ti = "17/58733/45003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58733/45003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58733 ÷ 217
    58733 ÷ 131072     		x = 0.448097229003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45003 ÷ 217
    45003 ÷ 131072     		y = 0.343345642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448097229003906 × 2 - 1) × π
    -0.103805541992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32611473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343345642089844 × 2 - 1) × π
    0.313308715820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.984288359898613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32611473} λ = -0.32611473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984288359898613))-π/2
    2×atan(2.67590692400363)-π/2
    2×1.21316141552902-π/2
    2.42632283105804-1.57079632675     		φ = 0.85552650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32611473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.684998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85552650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.018058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58733 KachelY 45003 -0.32611473 0.85552650 -18.684998 49.018058
    Oben rechts KachelX + 1 58734 KachelY 45003 -0.32606679 0.85552650 -18.682251 49.018058
    Unten links KachelX 58733 KachelY + 1 45004 -0.32611473 0.85549507 -18.684998 49.016257
    Unten rechts KachelX + 1 58734 KachelY + 1 45004 -0.32606679 0.85549507 -18.682251 49.016257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85552650-0.85549507) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dl = 200.24052999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85552650-0.85549507) × R
    3.14299999999434e-05 × 6371000     		dr = 200.24052999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32611473--0.32606679) × cos(0.85552650) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655821137217188 × 6371000     		do = 200.304656142302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32611473--0.32606679) × cos(0.85549507) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655844863912901 × 6371000     		du = 200.311902885898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85552650)-sin(0.85549507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655821137217188-0.655844863912901)×R²
    abs(-0.32606679--0.32611473)×2.37266957128224e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37266957128224e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37266957128224e-05×40589641000000     		ar = 40109.8360563955m²