Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58733 / 44987
↖ ↑ ↗
← N 49.046870°
W 18.684998°		 ← 200.19 m → N 49.046870°
W 18.682251°		 →
↑
200.18 m
↓
↑
200.18 m
↓
N 49.045070°
W 18.684998°		 ← 200.20 m →
40 074 m²		 N 49.045070°
W 18.682251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448101043701172 y=0.343227386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448101043701172 × 217)
    floor (0.448101043701172 × 131072)
    floor (58733.5)     		tx = 58733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343227386474609 × 217)
    floor (0.343227386474609 × 131072)
    floor (44987.5)     		ty = 44987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58733 / 44987 ti = "17/58733/44987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58733/44987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58733 ÷ 217
    58733 ÷ 131072     		x = 0.448097229003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44987 ÷ 217
    44987 ÷ 131072     		y = 0.343223571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448097229003906 × 2 - 1) × π
    -0.103805541992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.32611473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343223571777344 × 2 - 1) × π
    0.313552856445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.985055350292534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32611473} λ = -0.32611473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.985055350292534))-π/2
    2×atan(2.67796010619422)-π/2
    2×1.21341284697524-π/2
    2.42682569395048-1.57079632675     		φ = 0.85602937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32611473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.684998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85602937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.046870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58733 KachelY 44987 -0.32611473 0.85602937 -18.684998 49.046870
    Oben rechts KachelX + 1 58734 KachelY 44987 -0.32606679 0.85602937 -18.682251 49.046870
    Unten links KachelX 58733 KachelY + 1 44988 -0.32611473 0.85599795 -18.684998 49.045070
    Unten rechts KachelX + 1 58734 KachelY + 1 44988 -0.32606679 0.85599795 -18.682251 49.045070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85602937-0.85599795) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dl = 200.176820000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85602937-0.85599795) × R
    3.14200000000042e-05 × 6371000     		dr = 200.176820000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32611473--0.32606679) × cos(0.85602937) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655441429546642 × 6371000     		do = 200.188683646041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32611473--0.32606679) × cos(0.85599795) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.655465159052675 × 6371000     		du = 200.195931247981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85602937)-sin(0.85599795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655441429546642-0.655465159052675)×R²
    abs(-0.32606679--0.32611473)×2.37295060327991e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37295060327991e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37295060327991e-05×40589641000000     		ar = 40073.8594964482m²