Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58732 / 37764
↖ ↑ ↗
← N 60.408428°
W 18.687744°		 ← 150.82 m → N 60.408428°
W 18.684998°		 →
↑
150.80 m
↓
↑
150.80 m
↓
N 60.407072°
W 18.687744°		 ← 150.83 m →
22 745 m²		 N 60.407072°
W 18.684998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448093414306641 y=0.288120269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448093414306641 × 217)
    floor (0.448093414306641 × 131072)
    floor (58732.5)     		tx = 58732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288120269775391 × 217)
    floor (0.288120269775391 × 131072)
    floor (37764.5)     		ty = 37764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58732 / 37764 ti = "17/58732/37764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58732/37764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58732 ÷ 217
    58732 ÷ 131072     		x = 0.448089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37764 ÷ 217
    37764 ÷ 131072     		y = 0.288116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.448089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.10382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32616267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.288116455078125 × 2 - 1) × π
    0.42376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3313035762482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32616267} λ = -0.32616267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3313035762482))-π/2
    2×atan(3.78597547990301)-π/2
    2×1.31256114217835-π/2
    2.62512228435671-1.57079632675     		φ = 1.05432596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32616267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.687744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05432596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.408428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58732 KachelY 37764 -0.32616267 1.05432596 -18.687744 60.408428
    Oben rechts KachelX + 1 58733 KachelY 37764 -0.32611473 1.05432596 -18.684998 60.408428
    Unten links KachelX 58732 KachelY + 1 37765 -0.32616267 1.05430229 -18.687744 60.407072
    Unten rechts KachelX + 1 58733 KachelY + 1 37765 -0.32611473 1.05430229 -18.684998 60.407072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05432596-1.05430229) × R
    2.36699999998091e-05 × 6371000     		dl = 150.801569998784m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05432596-1.05430229) × R
    2.36699999998091e-05 × 6371000     		dr = 150.801569998784m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32616267--0.32611473) × cos(1.05432596) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.493813965670936 × 6371000     		do = 150.823495887281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32616267--0.32611473) × cos(1.05430229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.493834548197098 × 6371000     		du = 150.829782320565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05432596)-sin(1.05430229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493813965670936-0.493834548197098)×R²
    abs(-0.32611473--0.32616267)×2.05825261613835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05825261613835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05825261613835e-05×40589641000000     		ar = 22744.8939756415m²